在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：2x2-y2=1．
（1）設F是C的左焦點，M是C右支上一點，若|MF|=22，求點M的坐標；
（2）過C的左焦點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；
（3）設斜率為k（|k|＜2）的直線l交C于P、Q兩點，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ．
|
MF
|
=
2
2
|
k
|
＜
2
【答案】（1）（）．
（2）．
（3）證明：設直線PQ的方程為y=kx+b，
因直線PQ與已知圓相切，故=1，
即b2=k2+1…①，由
，得（2-k2）x2-2bkx-b2-1=0，
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則
，
又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．
所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
=
=．
由①式可知=0，
故PO⊥OQ．
6
2
，
±
2
（2）
3
2
4
（3）證明：設直線PQ的方程為y=kx+b，
因直線PQ與已知圓相切，故
|
b
|
k
2
+
1
即b2=k2+1…①，由
y = kx + b |
2 x 2 - y 2 = 1 |
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則
x 1 + x 2 = 2 kb 2 - k 2 |
x 1 x 2 = - 1 - b 2 2 - k 2 |
又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．
所以
OP
?
OQ
=
（
1
+
k
2
）
（
-
1
-
b
2
）
2
-
k
2
+
2
k
2
b
2
2
-
k
2
+
b
2
=
-
1
+
b
2
-
k
2
2
-
k
2
由①式可知
OP
?
OQ
故PO⊥OQ．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：687引用：4難度：0.3
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．5
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