當(dāng)前位置：試題詳情

已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω，它的離心率為
1
2
，一個焦點和拋物線y²=-4x的焦點重合，過直線l：x=4上一點M引橢圓Ω的兩條切線，切點分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上的點（x₀，y₀）處的橢圓的切線方程是
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．求證：直線AB恒過定點C；并求出定點C的坐標(biāo)．

【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：83引用：1難度：0.1

相似題

1．若圓C的方程為x²+y²=r²，則有過圓C上一點（x₀，y₀）作圓C的切線方程為x₀x+y₀y=r²，類比這一結(jié)論，若橢圓C′的方程為
x
2
8
+
y
2
2
=1，則有過橢圓C′上的一點（2，1）作橢圓的切線方程為
．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：50引用：2難度：0.7
解析
2．已知焦點在y軸的橢圓C上、下焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，且長軸長為4，離心率為
3
2
，直線y=mx+1與橢圓交于A、B兩點．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求m的值；
（3）已知真命題：“如果點P（x₀，y₀）在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上，那么過點P的橢圓的切線方程為
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．”利用上述結(jié)論，解答下面問題：
若點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l,使l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線的PF₁，PF₂斜率分別為k₁，k₂．若k≠0，試證明k（k₁+k₂）為定值，并求出這個定值．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：72引用：1難度：0.1
解析
3．橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的一個焦點是F（1，0），已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知Q（x₀，y₀）為橢圓上任意一點，求以Q為切點，橢圓的切線方程．
（3）設(shè)點P為直線x=4上一動點，過P作橢圓兩條切線PA，PB，求證直線AB過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：77引用：1難度：0.1
解析

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1．若圓C的方程為x2+y2=r2，則有過圓C上一點（x0，y0）作圓C的切線方程為x0x+y0y=r2，類比這一結(jié)論，若橢圓C′的方程為x28+y22=1，則有過橢圓C′上的一點（2，1）作橢圓的切線方程為．

1．若圓C的方程為x²+y²=r²，則有過圓C上一點（x₀，y₀）作圓C的切線方程為x₀x+y₀y=r²，類比這一結(jié)論，若橢圓C′的方程為
x
2
8
+
y
2
2
=1，則有過橢圓C′上的一點（2，1）作橢圓的切線方程為
．