閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：
萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其中外心和內(nèi)心，則OI2=R2-2Rr.
如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切分于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r,外心O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離OI=d,則有d2=R2-2Rr.
下面是該定理的證明過程（部分）：
延長AI交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN．
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．
∴IMIA=IDIN，
∴IA?ID=IM?IN，①
如圖2，在圖1（隱去MD，AN）的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，
如圖2，動手連接BE，BD，BI，IF．
∵DE是⊙O的直徑，所以∠DBE=90°．
∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F，所以∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所對的圓周角相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴IADE=IFBD．
∴IA?BD=DE?IF②
（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IM=R+dR+d，IN=R-dR-d（用含R，d的代數(shù)式表示）；
（2）請觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)（1）的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分．
IM
IA
ID
IN
IA
DE
IF
BD
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】R+d；R-d
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：80引用：1難度：0.4
相似題
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1．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)H，∠BDC=∠CBE．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若CD⊥AB，AC=2，BH=3，求劣弧BC的長；
（3）如圖，若CD∥BE，作DF∥BC，滿足BC=2DF，連接FH、BF，求證：FH=BF．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：96引用：1難度：0.1 -
2．如圖，AB是圓O的直徑，AB=6，D是半圓ADB上的一點(diǎn)，C是弧BD的中點(diǎn)．
（1）若∠ABD=30°，求BC的長和由弦BC、BD、和弧CD圍成的圖形面積；
（2）若弧AD的度數(shù)是120度，在半徑OB上是否存在點(diǎn)P，使得PC+PD的值最小，如果存在，請在備用圖中畫出P的位置，并求PC+PD的最小值，如果不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：42引用：0難度：0.3 -
3．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于G，射線DO與直線CE相交于點(diǎn)E，直線DB與CE交于點(diǎn)H，且∠BDC=∠BCH．
（1）求證：直線CE是圓O的切線．
（2）如圖1，若OG=BG，BH=1，直接寫出圓O的半徑；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將射線DO繞D點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得射線DM，DM與AB交于點(diǎn)M，與圓O及切線CF分別相交于點(diǎn)N，F(xiàn)，當(dāng)GM=GD時，求切線CF的長．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：775引用：2難度：0.1