當(dāng)前位置：北師大版（2019）必修第二冊(cè)《第一章三角函數(shù)》2021年單元測(cè)試卷（3）> 試題詳情

已知函數(shù)
f
（
x
）
=
asin
（
2
x
+
π
4
）
+
a
+
b
，當(dāng)
x
∈
[
0
，
π
2
]
時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是
[
-
2
，
2
]
．
（1）求常數(shù)a,b的值；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)
g
（
x
）
=
f
（
x
+
π
2
）
，判斷函數(shù)g（x）在
[
0
，
π
2
]
上的單調(diào)性．

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的最值．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：286引用：2難度：0.6

相似題

1．函數(shù)
f
（
x
）
=
ln
（
3
cosx
-
sinx
）
的定義域?yàn)?!--BA-->
．
發(fā)布：2024/11/4 8:0:2組卷：42引用：2難度：0.7
解析
2．求函數(shù)y=
lo
g
3
sinx
的定義域．
發(fā)布：2024/11/4 8:0:2組卷：12引用：0難度：0.9
解析
3．定義函數(shù)f（x）=cos（sinx）為“正余弦”函數(shù)．結(jié)合學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，我們可以得到該函數(shù)的性質(zhì)：
1．我們知道，正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的定義域均為R，故函數(shù)f（x）=cos（sinx）的定義域?yàn)镽．
2．我們知道，正弦函數(shù)y=sinx為奇函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosx為偶函數(shù)，對(duì)f（x）=cos（sinx），f（-x）=cos[sin（-x）]=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x），可得：函數(shù)f（x）=cos（sinx）為偶函數(shù)．
3．我們知道，正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的最小正周期均為2π，對(duì)f（x）=cos（sinx），f（x+2π）=cos[sin（x+2π）]=cos（sinx）=f（x），可知2π為該函數(shù)的周期，是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：f（x+π）=cos[sin（x+π）]=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x）．
可得：π也為函數(shù)f（x）=cos（sinx）的周期．但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們來研究f（x）=cos（sinx）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)性，在區(qū)間[0，π]上，余弦函數(shù)y=cosx單調(diào)遞減，正弦函數(shù)y=sinx在
[
0
，
π
2
]
上單調(diào)遞增，在
（
π
2
，
π
]
上單調(diào)遞減，故我們需要分這兩個(gè)區(qū)間來討論．
當(dāng)
x
∈
[
0
，
π
2
]
時(shí)，設(shè)
0
≤
x
1
＜
x
2
≤
π
2
，因正弦函數(shù)y=sinx在
[
0
，
π
2
]
上單調(diào)遞增，故sinx₁＜sinx₂，令t₁=sinx₁，t₂=sinx₂，可得0≤t₁＜t₂≤1＜π，而在區(qū)間[0，π]上，余弦函數(shù)y=cosx單調(diào)遞減，故：cost₁＞cost₂即：cos（sinx₁）＞cos（sinx₂）從而，
x
∈
[
0
，
π
2
]
時(shí)，函數(shù)f（x）=cos（sinx）單調(diào)遞減．
同理可證，
x
∈
（
π
2
，
π
]
時(shí)，函數(shù)f（x）=cos（sinx）單調(diào)遞增．可得，函數(shù)f（x）=cos（sinx）在
[
0
，
π
2
]
上單調(diào)遞減，在
（
π
2
，
π
]
上單調(diào)遞增．結(jié)合f（x+π）=f（x）．
可以確定：f（x）=cos（sinx）的最小正周期為π．
這樣，我們可以求出該函數(shù)的值域了：
顯然：
f
（
x
）
min
=
f
（
π
2
）
=
cos
（
sin
π
2
）
=
cos
1
，而f（0）=1=f（π）
故f（x）=cos（sinx）的值域?yàn)閇cos1，1]
定義函數(shù)f（x）=sin（cosx）為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問題：
（1）求該函數(shù)的定義域；
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性；
（3）探究該函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，并求其值域．
發(fā)布：2024/11/11 8:0:1組卷：76引用：1難度：0.5
解析

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1．函數(shù)f（x）=ln（3cosx-sinx）的定義域?yàn)?!--BA-->．

2．求函數(shù)y=log3sinx的定義域．

1．函數(shù)
f
（
x
）
=
ln
（
3
cosx
-
sinx
）
的定義域?yàn)?!--BA-->
．

2．求函數(shù)y=
lo
g
3
sinx
的定義域．