如圖1，拋物線y=14x2+bx+c，點A（4，-3），對稱軸是直線x=2，頂點為D．拋物線與y軸交于點C，連接AC，過點A作AB⊥x軸于點B，點E是線段AC上的動點（點E不與A、C兩點重合）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式和頂點D的坐標；
（2）若直線DE將四邊形OBAC分成面積比為1：3的兩個四邊形，求點E的坐標；
（3）如圖2，連接BE，作矩形BEFG，在點E的運動過程中，是否存在點G落在y軸上的同時點F也恰好落在拋物線上？若存在，求出此時AE的長；若不存在，請說明理由．
y
=
1
4
x
2
+
bx
+
c
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=x2-x-3，D（2，-4）；
（2）（，-3）或（，-3）；
（3）存在，．
1
4
（2）（
8
5
12
5
（3）存在，
4
3
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：142引用：1難度：0.3
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點A，B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B，D（-4，5）兩點，且與直線DC交于另一點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）F為拋物線對稱軸與x軸的交點，M為線段DE上一點，N為平面直角坐標系中的一點，若存在以點D、F、M、N為頂點的四邊形是菱形．請直接寫出點N的坐標，不需要寫過程；
（3）P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，連接OB、BP，探究EQ+PQ+PB是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點Q的坐標，若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/30 14:30:1組卷：323引用：4難度：0.4 -
2．已知A（-3，-2），B（1，-2），拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）頂點在線段AB上運動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：
①c≥-2；
②當x＞0時，一定有y隨x的增大而增大；
③若點D橫坐標的最小值為-5，則點C橫坐標的最大值為3；
④當四邊形ABCD為平行四邊形時，a=．12
其中正確的是（ ?。?/h2>發(fā)布：2025/5/30 14:0:1組卷：2275引用：15難度：0.5 -
3．如圖1，已知拋物線y=ax2-
x+c與x軸交于點A，B（3，0），與y軸交于點C（0，-1），點P是拋物線上位于對稱軸l右側(cè)一動點．23
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P的橫坐標為6時，求四邊形ACBP的面積；
（3）如圖2，對稱軸l分別與x軸交于點D，與直線AC交于點N，過點P作PM⊥l于點M，連接BM，BN．在拋物線上是否存在點P，使△BMN為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/30 13:30:1組卷：69引用：1難度：0.3