定義：在三角形中，若有兩條中線互相垂直，則稱該三角形為中垂三角形．
（1）如圖（a），△ABC是中垂三角形，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線，且BD⊥AE于點O，若∠BAE=45°，求證：△ABC是等腰三角形．
（2）如圖（b），在中垂三角形ABC中，AE，BD分別是邊BC，AC上的中線，且AE⊥BD于點O，求證：AC2+BC2=5AB2．
（3）如圖（c），四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O，點M，N分別是OA，OD的中點，連接BM，CN并延長，交于點E．求證：△BCE是中垂三角形；?
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析；
（3）見解析；
（2）見解析；
（3）見解析；
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/5 8:0:7組卷：103引用：1難度：0.2
相似題
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1．如圖，在?ABCD中，∠ADB=90°，AB=10cm,AD=8cm,點P從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s.當一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點P作PE∥BD交AB于點E，連接PQ，交BD于點F．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ∥AB？
（2）連接EQ，設(shè)四邊形APQE的面積為y（cm2），求y與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當t為何值時，點E在線段PQ的垂直平分線上？
（4）若點F關(guān)于AB的對稱點為F′，是否存在某一時刻t,使得點P，E，F(xiàn)′三點共線？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/23 2:30:1組卷：955引用：5難度：0.3 -
2．如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°．連接BD，總有∠DBC=∠DAB+60°．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）點F是線段CD的中點，連接BF．
①寫出線段AD，BD，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
②延長AD，BF相交于點N，連接CN，若，求線段CN長度的最小值．AB=23
發(fā)布：2025/5/23 1:0:1組卷：457引用：1難度：0.1 -
3．綜合與實踐：情景再現(xiàn)：我們動手操作：把正方形ABCD沿對角線剪開就分剪出兩個等腰直角三角形，把其中一個等腰直角三角形與正方形ABCD重新組合在一起，圖形變得豐富起來，當圖形旋轉(zhuǎn)時問題也隨旋轉(zhuǎn)應(yīng)運而生．如圖①把正方形ABCD沿對角線剪開，得兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）問題呈現(xiàn)，我們把剪下的兩個三角形一個放大另一個縮小拼成如圖②所示的圖形，①若點P是平面內(nèi)一動點，AB=3，PA=1，則線段PB的取值范圍是 ；②直接寫出線段AE與DB的關(guān)系是 ；
（2）我們把剪下的其中一個三角形放大與正方形組合如圖③④⑤所示，點E在直線BC上，F(xiàn)M⊥CD交直線CD于M．①當點E在BC上時，如圖③所示，求證：AD=MF+CE；②當點E在BC的延長線時，如圖④所示，則線段AD、MF、CE具有的數(shù)量關(guān)系為 ；當點E在CB的延長線上時，如圖⑤所示，則線段AD、MF、CE具有的數(shù)量關(guān)系為 ；
（3）在（2）的條件下，連接EM，當，其他條件不變，則線段CE的長為 ．S△EMF=8，AF2=50發(fā)布：2025/5/23 1:0:1組卷：158引用：2難度：0.3