已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為32，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A，B為橢圓C上任意兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB．求證：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出該定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）+y2=1；
（2）證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=±；
此時(shí)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入橢圓方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
則Δ=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-4）=16（1+4k2-m2）＞0，
x1+x2=-，x1x2=，
則y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2?+km（-）+m2=，
由OA⊥OB得kOAkOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
所以=0，即m2=（1+k2），
所以原點(diǎn)O到直線AB的距離為d==，
綜上，原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．
x
2
4
（2）證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=±
2
5
5
此時(shí)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為
2
5
5
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入橢圓方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
則Δ=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-4）=16（1+4k2-m2）＞0，
x1+x2=-
8
km
1
+
4
k
2
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
則y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2?
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
8
km
1
+
4
k
2
m
2
-
4
k
2
1
+
4
k
2
由OA⊥OB得kOAkOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
所以
5
m
2
-
4
-
4
k
2
1
+
4
k
2
4
5
所以原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=
|
m
|
1
+
k
2
2
5
5
綜上，原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值
2
5
5
【解答】
【點(diǎn)評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：892引用：3難度：0.5
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-
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=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6，則該橢圓的方程為（ ?。?/h2>x2a2+y2b2發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：12引用：2難度：0.7 -
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