如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，D為圓上一點(diǎn)，且B，D兩點(diǎn)位于AC異側(cè)，連接BD，交AC于E，點(diǎn)F為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AF，使得∠DAF=∠ABD．
（1）求證：AF為⊙O的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)D為EF的中點(diǎn)時(shí)，求證：AD2=AO?AE；
（3）在（2）的條件下，若sin∠BAC=13，AF=26，求BF的長(zhǎng)．
1
3
6
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析部分．
（3）8．
（3）8．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/24 18:0:1組卷：2315引用：10難度：0.1
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1．定義：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，那么我們稱這個(gè)四邊形為“對(duì)角互余四邊形”．
（1）如圖1，在“對(duì)角互余四邊形”ABCD中，AD=CD，BD=6.5，∠ABC+∠ADC=90°，AB=4，CB=3，求四邊形ABCD的面積．
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，連接AC，∠BAC=90°，點(diǎn)O是△ACD外接圓的圓心，連接OA，∠OAC=∠ABC．求證：四邊形ABCD是“對(duì)角互余四邊形”；
（3）在（2）的條件下，如圖3，已知AD=a,DC=b,AB=3AC，連接BD，求BD2的值．（結(jié)果用帶有a,b的代數(shù)式表示）
發(fā)布：2025/5/25 2:0:6組卷：305引用：2難度：0.3 -
2．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，以AE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（1）求證：①BC是⊙O的切線；
②CD2=CE?CA；
（2）若點(diǎn)F是劣弧AD的中點(diǎn)，且CE=3，試求陰影部分的面積．發(fā)布：2025/5/25 1:0:1組卷：3655引用：17難度：0.4 -
3．如圖，四邊形ABCE內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)C是BF的中點(diǎn)，∠BCD=∠CAE．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：△CEF是等腰三角形；
（3）若BD=1，CD=2，求cos∠CBA的值及EF的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/5/25 1:0:1組卷：818引用：7難度：0.1
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