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如圖,已知拋物線y=ax2+2x+c交x軸于點A(-1,0)和點B(3,0),交y軸于點C,點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.
(1)求該拋物線的表達式,并求出點D的坐標(biāo);
(2)若點E為該拋物線上的點,點F為直線AD上的點,若EF∥x軸,且EF=1(點E在點F左側(cè)),求點E的坐標(biāo);
(3)若點P是該拋物線對稱軸上的一個動點,是否存在點P,使得△APD為直角三角形?若不存在,請說明理由;若存在,直接寫出點P坐標(biāo).

【答案】(1)y=-x2+2x+3,D(2,3)
(2)
E
5
+
1
2
,
5
+
5
2
或E(
1
-
5
2
,
5
-
5
2
);
(3)存在點P,使得△APD為直角三角形,此時點P的坐標(biāo)為
1
,
3
+
17
2
1
,
3
-
17
2
或(1,-2)或(1,4)
【解答】
【點評】
聲明:本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有,未經(jīng)書面同意,不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布:2025/5/23 8:0:2組卷:264引用:2難度:0.1
相似題
  • 1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線
    y
    =
    3
    4
    x
    2
    +
    bx
    +
    c
    與直線AB交于點A(0,-3),B(4,0).

    (1)求拋物線的函數(shù)解析式;
    (2)點P是直線AB下方拋物線上一點,過點P作y軸的平行線,交AB于點E,過點P作AB的垂線,垂足為點F,求△PEF周長的最大值及此時點P的坐標(biāo);
    (3)在(2)中△PEF取得最大值的條件下,將該拋物線沿水平方向向左平移3個單位,點Q為點P的對應(yīng)點,點N為原拋物線對稱軸上一點.在平移后拋物線上確定一點M,使得以點B,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo),并寫出求解點M的坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

    發(fā)布:2025/6/6 1:30:1組卷:517引用:5難度:0.1
  • 2.定義:若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某一點P中心對稱,則稱這兩個函數(shù)關(guān)于點P互為“伴隨函數(shù)”.例如,函數(shù)y=x2與y=-x2關(guān)于原點O互為“伴隨函數(shù)”.
    (1)函數(shù)y=x+1關(guān)于原點O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為
    ,函數(shù)y=(x-2)2+1關(guān)于原點O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為
    ;
    (2)已知函數(shù)y=x2-2x與函數(shù)G關(guān)于點P(m,3)互為“伴隨函數(shù)”.若當(dāng)m<x<7時,函數(shù)y=x2-2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大,求m的取值范圍;
    (3)已知點A(0,1),點B(4,1),點C(2,0),二次函數(shù)y=ax2-2ax-3a(a>0)與函數(shù)N關(guān)于點C互為“伴隨函數(shù)”,將二次函數(shù)y=ax2-2ax-3a(a>0)與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W,若圖形W與線段AB恰有2個公共點,直接寫出a的取值范圍.

    發(fā)布:2025/6/5 23:0:2組卷:1200引用:2難度:0.2
  • 3.我們約定[a,-b,c]為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的“相關(guān)數(shù)”.
    特例感知
    “相關(guān)數(shù)”為[1,4,3]的二次函數(shù)的解析式為y1=x2-4x+3;
    “相關(guān)數(shù)”為[2,5,3]的二次函數(shù)的解析式為y2=2x2-5x+3;
    “相關(guān)數(shù)”為[3,6,3]的二次函數(shù)的解析式為y3=3x2-6x+3;
    (1)下列結(jié)論正確的是
    (填序號).
    ①拋物線y1,y2,y3都經(jīng)過點(0,3);
    ②拋物線y1,y2,y3與直線y=3都有兩個交點;
    ③拋物線y1,y2,y3有兩個交點.
    形成概念
    把滿足“相關(guān)數(shù)”為[n,n+3,3](n為正整數(shù))的拋物線yn稱為“一簇拋物線”,分別記為y1,y2,y3,…,yn.拋物線yn與x軸的交點為An,Bn
    探究問題
    (2)①“一簇拋物線”y1,y2,y3,…,yn都經(jīng)過兩個定點,這兩個定點的坐標(biāo)分別為

    ②拋物線yn的頂點為Cn,是否存在正整數(shù)n,使△AnBnCn是直角三角形?若存在,請求出n的值;若不存在,請說明理由.
    ③當(dāng)n≥4時,拋物線yn與x軸的左交點An,與直線y=3的一個交點為Dn,且點Dn不在y軸上.判斷AnAn+1和DnDn+1是否相等,并說明理由.

    發(fā)布:2025/6/5 23:0:2組卷:359引用:5難度:0.1
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