綜合與實踐：
綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
【操作判斷】
操作一；如圖1，正方形紙片ABCD，將∠B沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部，得到折痕AE，點B的對應(yīng)點為M，連接AM；將∠D沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，得到折痕AF，將紙片展平，連接EF．
（1）根據(jù)以上操作，易得點E，M，F(xiàn)三點共線，且①∠EAF=4545°；
②線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為 EF=BE+DFEF=BE+DF．
【深入探究】
操作二：如圖2、將∠C沿EF所在直線折疊，使點C落在正方形ABCD的內(nèi)部，點C的對應(yīng)點為N，將紙片展平，連接NE、NF．
同學(xué)們在折紙的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點E的位置不同時，點N的位置也不同，當(dāng)點E在BC邊上某一位置時（點E不與點B，C重合），點N恰好落在折痕AE上，此時AM交NF于點P，如圖3所示．
（2）小明通過觀察圖形，得出這樣兩個結(jié)論：①AP=BE+DF；②∠BAE=30°．請任意選擇其中一個結(jié)論判斷其是否正確，并說明理由．
【拓展應(yīng)用】
（3）若正方形紙片ABCD的邊長為3，當(dāng)點N落在折痕AE或AF上時，請直接寫出線段BE的長．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】45；EF=BE+DF
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/1 8:0:8組卷：1756引用：6難度：0.4
相似題
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1．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關(guān)系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：880引用：1難度：0.1 -
2．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當(dāng)AD與邊BC相交，點D與點F在直線AC的兩側(cè)時，BD與CF的數(shù)量關(guān)系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②證明你的結(jié)論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當(dāng)△ACE為直角三角形時，直接寫出CE的長度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內(nèi)一點，F(xiàn)是正方形ABCD外一點，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5
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