【問題情境】：
一次數(shù)學(xué)小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖1所示的位置，擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：BE=DG且BE⊥DG．
經(jīng)班內(nèi)各個(gè)小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助他們解決相關(guān)問題：
【操作發(fā)現(xiàn)】：
（1）樂學(xué)小組將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），還能得到BE=DG嗎？若能，請(qǐng)給出證明；若不能，請(qǐng)說明理由；
（2）縝密小組又發(fā)現(xiàn)，把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），試問當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)論BE=DG仍成立？請(qǐng)說明理由；
（3）創(chuàng)新小組又把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖4），連接DE，BG．
小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，DE2+BG2的值是定值，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值．
AE
AG
=
AB
AD
=
2
3
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）能得到BE=DG，證明見解析部分；
（2）當(dāng)∠EAG=∠BAD時(shí)，BE=DG，證明見解析部分；
（3）260．
（2）當(dāng)∠EAG=∠BAD時(shí)，BE=DG，證明見解析部分；
（3）260．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：146引用：1難度：0.1
相似題
-
1．【感知】
小明同學(xué)復(fù)習(xí)“相似三角形”的時(shí)候遇到了這樣的一道題目：
小明同學(xué)分析后發(fā)現(xiàn)，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，再結(jié)合已知條件可以得到△ABD∽△DCE．請(qǐng)根據(jù)小明的分析，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作∠ADE=∠B，交AC于點(diǎn)E．求證：△ABD∽△DCE．
【探究】
在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D為BC上一點(diǎn)．
（1）如圖②，過點(diǎn)D作∠ADE=∠B，交AC于點(diǎn)E．當(dāng)DE∥AB時(shí)，AD的長為 ．
（2）如圖③，過點(diǎn)D作∠FDE=∠B，分別交AB、AC于點(diǎn)F、E．當(dāng)CD=4時(shí)，BF的長的取值范圍為 ．
發(fā)布：2025/6/14 15:30:1組卷：349引用：5難度：0.3 -
2．如圖1，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)P為斜邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作射線PD⊥PE，分別交AC、BC于點(diǎn)D，E．
（1）問題產(chǎn)生
若P為AB中點(diǎn)，當(dāng)PD⊥AC，PE⊥BC時(shí)，=；PDPE
（2）問題延伸
在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，的值是否會(huì)發(fā)生改變？如果不變，請(qǐng)證明；如果改變，請(qǐng)說明理由；PDPE
（3）問題解決
如圖3，連接DE，若△PDE與△ABC相似，求BP的值．
發(fā)布：2025/6/14 0:0:1組卷：966引用：6難度：0.1 -
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，頂點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，線段OA，OC的長是一元二次方程x2-12x+36=0的兩根，BC=4，∠BAC=45°．5
（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；
（2）反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，求k的值；kx
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)寫出滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并直接寫出其中兩個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．發(fā)布：2025/6/14 10:30:2組卷：1994引用：7難度：0.5