當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年山西省運(yùn)城實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

綜合與實(shí)踐
【背景介紹】
勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．勾股定理是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人著迷．
【證明方法】
如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c²，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即
1
2
ab
×
4
+
（
b
-
a
）
2
，從而得到等式
c
2
=
1
2
ab
×
4
+
（
b
-
a
）
2
，化簡便得結(jié)論．a(chǎn)²+b²=c²．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．

【方法應(yīng)用】
請利用“雙求法”解決下面的問題：
（1）如圖2，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點(diǎn)，可得△ABC，則AB邊上的高為
14
17
17
14
17
17
．
【方法遷移】
（2）如圖3，在△ABC中，AC=14，AB=16，BC=6，AD是BC邊上的高，求AD的值．
【定理應(yīng)用】
（3）如圖4，在長方形ABCD中，AB=3，AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為
13
-2
13
-2
．
【數(shù)學(xué)思想】
（4）在解決以上問題的過程中，讓我們感悟的數(shù)學(xué)思想有
①②
①②
（填序號）．
①方程思想
②數(shù)形結(jié)合思想
③分類討論思想
④函數(shù)思想

【考點(diǎn)】勾股定理的證明；解直角三角形；數(shù)軸．

【答案】

；

-2；①②

【解答】

【點(diǎn)評】

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發(fā)布：2024/9/28 17:0:1組卷：142引用：3難度：0.5

相似題

1．著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a,較小的直角邊長都為b,斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為
4
×
1
2
ab
+
（
a
-
b
）
2
，由此推導(dǎo)出直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長為a,b,斜邊長為c,則a²+b²=c²．

（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)上面的關(guān)系式．利用以上所得的直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答：
（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點(diǎn)A，B，其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點(diǎn)H（A、H、B條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH=6千米，HB=4.5千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，AC=8，BC=10，AB=12，設(shè)AH=x,求x的值．
發(fā)布：2024/10/8 2:0:2組卷：223引用：2難度：0.5
解析
2．請閱讀下面文字并完成相關(guān)任務(wù)．
勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”．在我國最早對勾股定理進(jìn)行證明的是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽．
（1）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以驗(yàn)證勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c²，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即
1
2
ab
×
4
+
（
b
-
a
）
2
，從而得到等式c²=
1
2
ab
×
4
+
（
b
-
a
）
2
，化簡便得結(jié)論a²+b²=c²．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．現(xiàn)在，請你用“雙求法”解決下面問題：
如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x,求x的值．
?
（2）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)和2021年在上海召開的國際數(shù)學(xué)教育大會會標(biāo)，都包含了趙爽的弦圖．如圖3，如果大正方形的面積為18，直角三角形中較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,且a²+b²=ab+10，那么小正方形的面積為
．
（3）勾股定理本身及其驗(yàn)證和應(yīng)用過程都體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想是
．
A．函數(shù)思想
B．整體思想
C．分類討論思想
D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
發(fā)布：2024/10/19 8:0:2組卷：202引用：1難度：0.5
解析
3．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖①或圖②擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小明利用圖①證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖①所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a²+b²=c²．

證明：連接DB，過點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b-a,FC=DE=b,
∵S_{四邊形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC=
1
2
b²+
1
2
ab,
S_{四邊形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB=
1
2
c²+
1
2
a（b-a）
∴
1
2
b²+
1
2
ab=
1
2
c²+
1
2
a（b-a）
∴a²+b²=c²．
請參照上述證法，利用圖②完成下面的證明：
將兩個全等的直角三角形按圖②所示擺放，其中∠DAB=90°．求證：a²+b²=c²．
發(fā)布：2024/10/20 7:0:2組卷：187引用：1難度：0.7
解析

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