如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)B關(guān)于直線的CD對(duì)稱點(diǎn)為E，F(xiàn)為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，EF交CD于G，CF交BG于H．
（1）當(dāng)F為AD中點(diǎn)時(shí)，求證CG=2DG；
（2）若線段DF滿足DF2=DG?DC．
①求證：CF=BG；
②求FDAD的值．
FD
AD
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②．
-
1
+
5
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/10/17 8:0:2組卷：315引用：2難度：0.4
相似題
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1．綜合與實(shí)踐
【問題情境】
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，楊老師出示了教材上的一個(gè)問題：
如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，交AG于點(diǎn)F，求證：AF-BF=EF．
數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)做出了回答，解題思路如下：
由正方形的性質(zhì)得到AB=AD，∠BAD=90°，
再由垂直和平行可知∠AED=∠AFB=90°，
再利用同角的余角相等得到∠ADE=∠BAF，
則可根據(jù)“AAS”判定△ADE≌△BAF，
得到AE=BF，所以AF-BF=AF-AE=EF．
【建立模型】
該數(shù)學(xué)小組小芳同學(xué)受此問題啟發(fā)，對(duì)上面的問題進(jìn)行了改編，并提出了如下問題：
（1）如圖2，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的點(diǎn)，BF∥DE，連接BE，DF．
求證：四邊形BEDF是菱形；
【模型拓展】
該興趣小組的同學(xué)們?cè)跅罾蠋煹闹笇?dǎo)下大膽嘗試，改變圖形模型，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)；
（2）如圖3，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥DE，交邊BC于點(diǎn)G，連接DG，交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，CF：EF=3：5，求FG?DF的值．
發(fā)布：2025/5/23 12:30:2組卷：676引用：1難度：0.4 -
2．已知點(diǎn)E、F分別是四邊形ABCD邊AB、AD上的點(diǎn)，且DE與CF相交于點(diǎn)G．
（1）如圖①，若AB∥CD，AB=CD，∠A=90°，且AD?DF=AE?DC，求證：∠CGE=90°；
（2）如圖②，若AB∥CD，AB=CD，且∠A=∠EGC時(shí)，求證：DE?CD=CF?DA；
（3）如圖③，若BA=BC=3，DA=DC=4，設(shè)DE⊥CF，當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，直接寫出的值．DECF
發(fā)布：2025/5/23 13:30:1組卷：556引用：2難度：0.3 -
3．如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），CD和AD的垂直平分線交于點(diǎn)E，連接AD、AE、DE和CE，ED與AC相交于點(diǎn)F，設(shè)∠CAE=a.
（1）請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示∠CED的度數(shù)；
（2）求證：△ABC∽△AED；
（3）若a=30°，求EF：BD的值．發(fā)布：2025/5/23 14:0:1組卷：77引用：1難度：0.1