在直角坐標系xOy中，曲線C：y=x24與直線l：y=kx+a（a＞0）交于M，N兩點．
（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程．
（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？（說明理由）
x
2
4
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）存在符合條件的點（0，-a），下面給出證明：
設P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為：k1，k2．
聯(lián)立
，化為x2-4kx-4a=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=-4a．
∴k1+k2=+==．
當b=-a時，k1+k2=0，直線PM，PN的傾斜角互補，
∴∠OPM=∠OPN．
∴點P（0，-a）符合條件．
a
x
+
y
+
a
=
0
（Ⅱ）存在符合條件的點（0，-a），下面給出證明：
設P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為：k1，k2．
聯(lián)立
y = kx + a |
y = x 2 4 |
∴x1+x2=4k，x1x2=-4a．
∴k1+k2=
y
1
-
b
x
1
y
2
-
b
x
2
2
k
x
1
x
2
+
（
a
-
b
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
k
（
a
+
b
）
a
當b=-a時，k1+k2=0，直線PM，PN的傾斜角互補，
∴∠OPM=∠OPN．
∴點P（0，-a）符合條件．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：8153引用：13難度：0.3
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1．點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點坐標分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：103引用：1難度：0.9 -
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7