【問題背景】
學校數(shù)學興趣小組在專題學習中遇到一個幾何問題：如圖1，已知等邊△ABC，D是△ABC外一點，連接AD、CD、BD，若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的長．
該小組在研究如圖2中△OMN≌△OPQ中得到啟示，于是作出圖3，從而獲得了以下的解題思路，請你幫忙完善解題過程．
解：如圖3所示，以DC為邊作等邊△CDE，連接AE．
∵△ABC、△DCE是等邊三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°．
∴∠BCA+∠ACD= ∠DCE∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD=5．
∵∠ADC=30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，
∴CD=DE= 44．
【嘗試應用】
如圖4，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=2，BC=4，以AC為直角邊，A為直角頂點作等腰直角△ACD，求BD的長．
【拓展創(chuàng)新】
如圖5，在△ABC中，AB=4，AC=8，以BC為邊向外作等腰△BCD，BD=CD，∠BDC=120°，連接AD，求AD的最大值．
2
【考點】三角形綜合題．
【答案】∠DCE；△BCD≌△ACE（SAS）；4
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/3 8:0:9組卷：2632引用：3難度：0.3
相似題
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1．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，點D為△ABC內(nèi)一點，∠ABD=∠ACD=20°，E為BD延長線上的一點，且AB=AE．
（1）求∠BAD的度數(shù)；
（2）求證：DE平分∠ADC；
（3）請判斷AD，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．發(fā)布：2025/6/21 1:30:2組卷：1216引用：5難度：0.4 -
2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=6．動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒個單位長度的速度向終點B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿折線BC-CA以每秒3個單位長度的速度向終點A勻速運動．當點P不與點A、B重合時，連結(jié)PQ，以PQ為斜邊作Rt△PMQ，使∠PMQ=90°，tan∠MPQ=5，且點M、B在直線PQ的兩側(cè)．設(shè)點Q的運動時間為t秒．43
（1）用含t的代數(shù)式表示CQ的長．
（2）當PM⊥AB時，求PQ的長．
（3）當點M在△ABC內(nèi)部時，求t的取值范圍．
（4）當△ABC的邊與△PMO的邊所夾的角被線段PQ平分時，直接寫出t的值．發(fā)布：2025/6/20 10:30:1組卷：82引用：1難度：0.1 -
3．如圖1，在△ABC中，BO⊥AC于點O，AO=BO=3，OC=1，過點A作AH⊥BC于點H，交BO于點P．
（1）求線段OP的長度；
（2）連接OH，求證：∠OHP=45°；
（3）如圖2，若點D為AB的中點，點M為線段BO延長線上一動點，連接MD，過點D作DN⊥DM交線段OA延長線于N點，則S△BDM-S△ADN的值是否發(fā)生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．
發(fā)布：2025/6/20 14:30:1組卷：3208引用：5難度：0.3