數(shù)學(xué)課上，李老師提出了一個問題：在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，在AD邊上取一點M使AM=8，將AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α度到AG，以AG為邊作矩形AEFG（如圖1所示），AE=6，連接DG、BE交于點N．
（1）求證：DG⊥BE．小明經(jīng)過思考后，很快得到了解題思路：先用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”證明△ADG∽△ABE，然后根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”可證明∠BND=∠BAD=90°，從而得到DG⊥BE．請你按照他的思路完成證明過程；
（2）連接BG，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=150時（如圖2），求S△ABGS△ADG的值；
（3）連接DE（如圖3），當(dāng)0＜α＜180°時，小明發(fā)現(xiàn)DE2+BG2是一個定值，請求出這個值．
?
S
△
ABG
S
△
ADG
【考點】相似形綜合題．
【答案】（1）證明見解析部分；
（2）；
（3）結(jié)論：BG2+DE2=325．理由見解析部分．
（2）
3
3
4
（3）結(jié)論：BG2+DE2=325．理由見解析部分．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：126引用：1難度：0.1
相似題
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1．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點O，點G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．
①求證：DQ=AE；
②推斷：的值為；GFAE
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，=k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點H，連接AE交GF于點O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；BCAB
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k=時，若tan∠CGP=23，GF=234，求CP的長．10
發(fā)布：2025/6/22 14:30:2組卷：5190引用：13難度：0.1 -
2．已知：A、B兩點在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點P．
（1）當(dāng)P與O重合時（如圖2所示），設(shè)點C是AO的中點，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；
（2）請利用如圖1所示的情形，求證：=ABPB；OMBM
（3）若AO=2，且當(dāng)MO=2PO時，請直接寫出AB和PB的長．6
發(fā)布：2025/6/22 15:30:1組卷：1012引用：2難度：0.1 -
3．有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=
．將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上．現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當(dāng)點F運動到點A時停止運動．43
（1）如圖2，當(dāng)三角板DEF運動到點D與點A重合時，設(shè)EF與BC交于點M，則∠EMC=度；
（2）如圖3，在三角板DEF運動過程中，當(dāng)EF經(jīng)過點C時，求FC的長；
（3）在三角板DEF運動過程中，設(shè)BF=x,兩塊三角板重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)解析式，并求出對應(yīng)的x取值范圍．
發(fā)布：2025/6/22 11:0:2組卷：1820引用：17難度：0.5
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