設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的任意一點(diǎn)，滿足|PF1|+|PF2|=8，△PF1F2的周長為12．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求PF1?PF2的最大值和最小值；
（Ⅲ）已知點(diǎn)A（8，0），B（2，0），是否存在過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，使得|BC|=|BD|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
P
F
1
P
F
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）；
（2）有最小值8；有最大值12．
（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，不妨設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x-8）
由方程組
，消元得（4k2+3）x2-64k2x+16（16k2-3）=0
∵過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，
∴Δ=642k4-64（4k2+3）（16k2-3）＞0
∴
設(shè)交點(diǎn)C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點(diǎn)為T（x0，y0）
∴x1+x2=，，
∴T（）
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵
∴，方程無解
∴不存在過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，使得|BC|=|BD|．
x
2
16
+
y
2
12
=
1
（2）
P
F
1
?
P
F
2
P
F
1
?
P
F
2
（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，不妨設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x-8）
由方程組
y = k （ x - 8 ） |
x 2 16 + y 2 12 = 1 |
∵過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，
∴Δ=642k4-64（4k2+3）（16k2-3）＞0
∴
-
1
2
＜
k
＜
1
2
設(shè)交點(diǎn)C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點(diǎn)為T（x0，y0）
∴x1+x2=
64
k
2
4
k
2
+
3
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=
32
k
2
4
k
2
+
3
y
0
=
k
（
x
0
-
5
）
=
-
24
k
4
k
2
+
3
∴T（
32
k
2
4
k
2
+
3
，
-
24
k
4
k
2
+
3
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵
k
BT
=
-
24
k
4
k
2
+
3
32
k
2
4
k
2
+
3
-
2
=
-
24
k
24
k
2
-
6
∴
k
?
k
BT
=
-
24
k
2
24
k
2
-
6
=
-
1
∴不存在過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，使得|BC|=|BD|．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：147引用：5難度：0.3
相似題
-
1．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：96引用：1難度：0.9 -
2．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7