已知F₁、F₂分別是橢圓C：

x

2

4

+y²=1的左、右焦點(diǎn)．
（1）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，

P

F

1

?

P

F

2

=-

5

4

，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若直線l與圓O：x²+y²=

1

4

相切，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線l,使得OA⊥OB？

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．

【答案】（1）P；
（2）不存在，理由如下：
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①若l的斜率不存在時(shí)，l：x=，代入橢圓方程得：y²=，
容易得出=x₁x₂+y₁y₂=-=-≠0，此時(shí)OA⊥OB不成立．
②若l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，
則由已知可得=，即k²+1=4m²．
由，可得：（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則x₁+x₂=-，x₁?x₂=．
要OA⊥OB，則=0，
即x₁?x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=km（x₁+x₂）+（k²+1）x₁?x₂+m²=0，
即5m²-4k²-4=0，又k²+1=4m²．
∴k²+1=0，此方程無(wú)實(shí)解，此時(shí)OA⊥OB不成立．
綜上，不存在這樣的直線l，使得OA⊥OB．