已知F1、F2分別是橢圓C：x24+y2=1的左、右焦點．
（1）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，PF1?PF2=-54，求點P的坐標；
（2）若直線l與圓O：x2+y2=14相切，交橢圓C于A，B兩點，是否存在這樣的直線l,使得OA⊥OB？
x
2
4
P
F
1
P
F
2
5
4
1
4
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）P；
（2）不存在，理由如下：
設A（x1，y1），B（x2，y2）．
①若l的斜率不存在時，l：x=，代入橢圓方程得：y2=，
容易得出=x1x2+y1y2=-=-≠0，此時OA⊥OB不成立．
②若l的斜率存在時，設l：y=kx+m，
則由已知可得=，即k2+1=4m2．
由
，可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
則x1+x2=-，x1?x2=．
要OA⊥OB，則=0，
即x1?x2+（kx1+m）（kx2+m）=km（x1+x2）+（k2+1）x1?x2+m2=0，
即5m2-4k2-4=0，又k2+1=4m2．
∴k2+1=0，此方程無實解，此時OA⊥OB不成立．
綜上，不存在這樣的直線l，使得OA⊥OB．
（
1
，
3
2
）
（2）不存在，理由如下：
設A（x1，y1），B（x2，y2）．
①若l的斜率不存在時，l：x=
±
1
2
15
16
容易得出
OA
?
OB
1
4
15
16
11
16
②若l的斜率存在時，設l：y=kx+m，
則由已知可得
|
m
|
k
2
+
1
1
2
由
y = kx + m |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
則x1+x2=-
8
km
4
k
2
+
1
4
（
m
2
-
1
）
4
k
2
+
1
要OA⊥OB，則
OA
?
OB
即x1?x2+（kx1+m）（kx2+m）=km（x1+x2）+（k2+1）x1?x2+m2=0，
即5m2-4k2-4=0，又k2+1=4m2．
∴k2+1=0，此方程無實解，此時OA⊥OB不成立．
綜上，不存在這樣的直線l，使得OA⊥OB．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/10/17 8:0:2組卷：452引用：5難度：0.1
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