【問題提出】
求1+2+3+…+n的值．（其中n是正整數(shù)）
為解決上面的數(shù)學問題，我們可以運用數(shù)形結合的思想方法，借助圖1所示的三角形圖案，把數(shù)量關系和幾何圖形巧妙地結合起來進行探究，即用“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法解決代數(shù)問題．
小紅同學思考過程如下：
①令n=7，于是這個三角形圖案即為圖2．將圖2倒過來（第1層變?yōu)榈?層）拼擺到圖2的右邊，拼成平行四邊形圖案（由？層小圓圈組成），那么這個平行四邊形圖案中小圓圈的總個數(shù)的一半就是圖2中小圓圈的總個數(shù)；
②將①中特殊化的方法，遷移到圖1中，將圖1倒過來（第1層變?yōu)榈趎層）拼擺到圖1的右邊，轉化為平行四邊形圖案（由n層小圓圈組成），再利用拼擺的平行四邊形圖案中小圓圈的總個數(shù)，求出1+2+3+…+n的值．
【問題解決】
（1）①請將小紅在圖2中拼擺的平行四邊形圖案補充完整（利用圖2補充即可）；
②小紅將圖1轉化為平行四邊形圖案后，這個平行四邊形圖案每層有 n+1n+1個小圓圈，圖案中小圓圈共有 n（n+1）n（n+1）個，則1+2+3+…+n=n（n+1）2n（n+1）2；
【模型構建】
（2）請你用所學過的幾何圖形，構造一個與圖1不同的幾何圖形，將所求算式“1+2+3+…+n”的數(shù)量關系與構造的幾何圖形巧妙地結合起來：（要求只畫出構造的幾何圖形，說明你所畫的圖形與算式之間有怎樣的聯(lián)系）
【模型應用】
（3）如圖3，某客運公司有一條往返于A，B兩地的長途客運線路，途中要?？緾，D，E三個車站，那么該條線路上需要制定 1010種不同的票價：如果車票上起點不同為一種票面，那么這趟客運線路有 2020種不同的車票？
【思維拓展】
（4）受小紅的思路啟發(fā)，小明將算式12×5×（5-3）與一個本學期學習的幾何圖形建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，請你畫出這個幾何圖形．
n
（
n
+
1
）
2
n
（
n
+
1
）
2
1
2
×
5
×
（
5
-
3
）
【考點】四邊形綜合題．
【答案】n+1；n（n+1）；；10；20
n
（
n
+
1
）
2
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2024/7/14 8:0:9組卷：162引用：4難度：0.5
相似題
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1．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當AD與邊BC相交，點D與點F在直線AC的兩側時，BD與CF的數(shù)量關系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點A旋轉α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②證明你的結論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當△ACE為直角三角形時，直接寫出CE的長度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
2．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．12
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：881引用：1難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內(nèi)一點，F(xiàn)是正方形ABCD外一點，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，當BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5