我們知道：過(guò)三角形的頂點(diǎn)引一條直線，可以將它分割成兩個(gè)小三角形．如果每個(gè)小三角形都有兩個(gè)相等的內(nèi)角，則我們稱這條直線為原三角形的“美麗線”．如圖1，直線CD為△ABC的“美麗線”．
（1）如圖2，在△ABC中，∠A=90°，∠C=35°，請(qǐng)利用直尺和量角器在圖2中畫出△ABC的“美麗線”（標(biāo)出所得三角形的內(nèi)角度數(shù)，不要求寫畫法）；
（2）在△ABC中，∠A=α，∠B=β（α≤β）．若△ABC存在過(guò)點(diǎn)C的“美麗線”，試探究α與β的關(guān)系．下面是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的部分探究過(guò)程：
設(shè)CD為△ABC的“美麗線”，點(diǎn)D在邊AB上，則△ACD與△BCD中各有兩個(gè)相等的內(nèi)角．
【探究1】
如圖3，當(dāng)∠ACD=∠ADC時(shí)，因?yàn)椤螦=α，所以∠ADC=180°-α2180°-α2，且∠ADC為銳角，則∠CDB為鈍角，所以在△CDB 中，∠DCB=∠B=β．由此可以得到α與β的關(guān)系為 α=180°-4βα=180°-4β，其中α的取值范圍為 0°＜α≤36°0°＜α≤36°．
【探究2】
借助圖4，請(qǐng)你繼續(xù)完成本問(wèn)題的探究，直接寫出α與β的關(guān)系．
180
°
-
α
2
180
°
-
α
2
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】；α=180°-4β；0°＜α≤36°
180
°
-
α
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/5/29 8:0:9組卷：1040引用：7難度：0.5
相似題
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1．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，連接EF．
（1）如圖1，求證：∠BED=∠AFD；
（2）如圖1，求證：BE2+CF2=EF2；
（3）如圖2，當(dāng)∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面積．發(fā)布：2024/12/23 14:0:1組卷：182引用：3難度：0.2 -
2．已知A（0，4），B（-4，0），D（9，4），C（12，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段BC上，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=秒時(shí)，PQ平分線段BD；
（2）當(dāng)t=秒時(shí)，PQ⊥x軸；
（3）當(dāng)時(shí)，求t的值．∠PQC=12∠D發(fā)布：2024/12/23 15:0:1組卷：141引用：3難度：0.1 -
3．一副三角板如圖1擺放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)A在DF上，且AF平分∠CAB，現(xiàn)將三角板DFE繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)D落在射線FB上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)）．
（1）當(dāng)∠AFD=°時(shí)，DF∥AC；當(dāng)∠AFD=°時(shí)，DF⊥AB；
（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DF與AB的交點(diǎn)記為P，如圖2，若△AFP有兩個(gè)內(nèi)角相等，求∠APD的度數(shù)；
（3）當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N時(shí)，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說(shuō)明理由．
發(fā)布：2024/12/23 18:30:1組卷：1687引用：10難度：0.1
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