在平面直角坐標(biāo)系xoy中，F(xiàn)是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，圓Q過(guò)O點(diǎn)與F點(diǎn)，且圓心Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為32．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積；
（3）已知拋物線上一點(diǎn)M（4，4），過(guò)點(diǎn)M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷：直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？說(shuō)明理由．
3
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）y2=4x；
（2）；
（3）設(shè)直線
，可得y2-4my-4t=0，則Δ=16m2+16t＞0（*）
設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4t，
∵=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16
==
=t2-16m2-12t+32-16m，
即t2-12t+32=16m2+16m得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式檢驗(yàn)均滿足Δ＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直線過(guò)定點(diǎn)（8，-4）．（定點(diǎn)（4，4）不滿足題意，故舍去）
（2）
4
3
3
（3）設(shè)直線
DE
：
x = my + t |
y 2 = 4 x |
設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4t，
∵
0
=
MD
?
ME
=
（
x
1
-
4
，
y
1
-
4
）
?
（
x
2
-
4
，
y
2
-
4
）
=
y
1
2
4
?
y
2
2
4
-
4
（
y
1
2
4
+
y
2
2
4
）
+
16
+
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
16
（
y
1
y
2
）
2
16
-
（
y
1
+
y
2
）
2
+
3
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
32
=t2-16m2-12t+32-16m，
即t2-12t+32=16m2+16m得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式檢驗(yàn)均滿足Δ＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直線過(guò)定點(diǎn)（8，-4）．（定點(diǎn)（4，4）不滿足題意，故舍去）
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：52引用：4難度：0.3
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：100引用：1難度：0.9 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7