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麥克斯韋的電磁場(chǎng)理論告訴我們：變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感生電場(chǎng)，該感生電場(chǎng)是渦旋電場(chǎng)；變化的電場(chǎng)也可以產(chǎn)生感生磁場(chǎng)，該感生磁場(chǎng)是渦旋磁場(chǎng)。
（1）如圖甲所示，在半徑為r的虛線邊界內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為B=kt（k＞0且為常量）。將一半徑也為r的細(xì)金屬圓環(huán)（圖中未畫出）與虛線邊界同心放置。
①求金屬圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)?的大小。
②變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)存在于磁場(chǎng)內(nèi)外的廣闊空間中，在與磁場(chǎng)垂直的平面內(nèi)其電場(chǎng)線是一系列同心圓，如圖乙中的實(shí)線所示，圓心與磁場(chǎng)區(qū)域的中心重合。在同一圓周上，渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小處處相等。使得金屬圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力是渦旋電場(chǎng)對(duì)自由電荷的作用力，這個(gè)力稱為渦旋電場(chǎng)力，其與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系和靜電力與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系相同。請(qǐng)推導(dǎo)金屬圓環(huán)位置的渦旋電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E_感。
（2）如圖丙所示，在半徑為r的虛線邊界內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為E=ρt（ρ＞0且為常量）。
①我們把穿過(guò)某個(gè)面的磁感線條數(shù)稱為穿過(guò)此面的磁通量，同樣地，我們可以把穿過(guò)某個(gè)面的電場(chǎng)線條數(shù)稱為穿過(guò)此面的電通量。電場(chǎng)強(qiáng)度發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)面積內(nèi)的電通量也會(huì)發(fā)生變化，該變化的電場(chǎng)必然會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。小明同學(xué)猜想求解該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_感的方法可以類比（1）中求解E_感的方法。若小明同學(xué)的猜想成立，請(qǐng)推導(dǎo)B_感在距離電場(chǎng)中心為a（a＜r）處的表達(dá)式，并求出在距離電場(chǎng)中心
r
2
和2r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值B_感1：B_感2。
②小紅同學(xué)對(duì)上問(wèn)通過(guò)類比得到的B_感的表達(dá)式提出質(zhì)疑，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)判斷B_感的表達(dá)式是否正確，并給出合理的理由。

【考點(diǎn)】感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)及其產(chǎn)生條件；感生電場(chǎng)和感生電動(dòng)勢(shì)；力學(xué)單位制與單位制．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：267引用：3難度：0.7

相似題

1．如圖1所示，半徑為r的金屬細(xì)圓環(huán)水平放置，環(huán)內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化關(guān)系為B=kt（k＞0，且為已知的常量）。
（1）已知金屬環(huán)的電阻為R．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，求金屬環(huán)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E_感和感應(yīng)電流I；
（2）麥克斯韋電磁理論認(rèn)為：變化的磁場(chǎng)會(huì)在空間激發(fā)一種電場(chǎng)，這種電場(chǎng)與靜電場(chǎng)不同，稱為感生電場(chǎng)或渦旋電場(chǎng)。圖1所示的磁場(chǎng)會(huì)在空間產(chǎn)生如圖2所示的圓形渦旋電場(chǎng)，渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)線與金屬環(huán)是同心圓。金屬環(huán)中的自由電荷在渦旋電場(chǎng)的作用下做定向運(yùn)動(dòng)，形成了感應(yīng)電流。渦旋電場(chǎng)力F充當(dāng)非靜電力，其大小與渦旋電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的關(guān)系滿足F=qE．如果移送電荷q時(shí)非靜電力所做的功為W，那么感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E_感=
W
q
。
a.請(qǐng)推導(dǎo)證明：金屬環(huán)上某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E=
1
2
kr；
b.經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為，金屬的電阻源于定向運(yùn)動(dòng)的自由電子與金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞。在考慮大量自由電子的統(tǒng)計(jì)結(jié)果時(shí)，電子與金屬離子的碰撞結(jié)果可視為導(dǎo)體對(duì)電子有連續(xù)的阻力，其大小可表示為f=bv（b＞0，且為已知的常量）。
已知自由電子的電荷量為e,金屬環(huán)中自由電子的總數(shù)為N．展開(kāi)你想象的翅膀，給出一個(gè)合理的自由電子的運(yùn)動(dòng)模型，并在此基礎(chǔ)上，求出金屬環(huán)中的感應(yīng)電流I。
（3）宏觀與微觀是相互聯(lián)系的。若該金屬單位體積內(nèi)自由電子數(shù)為n,請(qǐng)你在（1）和（2）的基礎(chǔ)上推導(dǎo)該金屬的電阻率ρ與n、b的關(guān)系式。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：433引用：2難度：0.1
解析
2．靜止電荷在其周圍空間產(chǎn)生的電場(chǎng)，稱為靜電場(chǎng)；隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)在其周圍空間激發(fā)的電場(chǎng)稱為感生電場(chǎng)
（1）如圖甲所示，真空中一個(gè)靜止的均勻帶電球體，所帶電荷量為+Q，半徑為R，靜電力常量為k。距球心r處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小分布滿足如下關(guān)系：E=
k
Q
R
3
?
r
（
r
＜
R
）
k
Q
r
2
（
r
≥
R
）

①將電荷量為q的試探電荷放在距離帶電球球心2R處，求其受到的靜電力大小F₁；如果該試探電荷處于距離帶電球球心
R
2
處，求其受到的靜電力大小F₂；
②在圖乙坐標(biāo)系中畫出E-r圖像，并借助該圖像求出帶電球的球心與球面間的電勢(shì)差U。
（2）如圖丙所示，在紙面內(nèi)以O(shè)為圓心、半徑為a的圓形區(qū)域內(nèi)，分布著垂直紙面向里的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨時(shí)間均勻增加，變化率為k。該變化磁場(chǎng)激發(fā)感生電場(chǎng)，距圓心r處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小分布滿足如下關(guān)系：E_感=
k
2
?
r
（
r
＜
a
）
ka
2
2
?
1
r
（
r
≥
a
）
電子感應(yīng)加速器是利用感生電場(chǎng)使電子加速的設(shè)備。一種電子感應(yīng)加速器的簡(jiǎn)化模型如圖丁所示，空間存在垂直紙面向里的磁場(chǎng)，在以O(shè)為圓心，半徑小于r₀的圓形區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=k₁t,在大于等于r₀的環(huán)形區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=k₂t,其中k₁、k₂均為正的定值。電子能在環(huán)形區(qū)域內(nèi)沿半徑等于r₀的圓形軌道運(yùn)動(dòng)，并不斷被加速。
①分別說(shuō)明B₁、B₂的作用；
②推導(dǎo)k₁與k₂應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：116引用：1難度：0.5
解析
3．在物理學(xué)中，變化量、變化率在描述各種變化過(guò)程時(shí)起著非常重要的作用。
（1）伽利略在研究自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，考慮了兩種可能的速度變化：一種是速度隨時(shí)間均勻變化，另一種是速度隨位移均勻變化。
如圖1所示，小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，A、B是運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的兩個(gè)位置。從A到B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Δt,位移為Δx,速度變化為Δv。

類比加速度的定義式a=
Δ
v
Δ
t
，寫出速度隨位移的變化率a_x的表達(dá)式。判斷在自由落體運(yùn)動(dòng)中a_x是增大的還是減小的，并說(shuō)明理由。
（2）空間存在有一圓柱形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，其橫截面如圖2所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間按照?qǐng)D3所示的規(guī)律均勻變化。圖中B₀和t₀為已知量。
a.用電阻為R的細(xì)導(dǎo)線做成半徑為r的圓環(huán)（圖中未畫出），圓環(huán)平面垂直于該磁場(chǎng)，圓環(huán)的中心與磁場(chǎng)中心重合。圓環(huán)半徑小于該磁場(chǎng)的橫截面半徑。求t=t₀時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率
ΔB
Δ
t
，以及圓環(huán)中的電流。
b.上述導(dǎo)體圓環(huán)中產(chǎn)生的電流，實(shí)際是導(dǎo)體中的自由電荷在感生電場(chǎng)力的作用下做定向運(yùn)動(dòng)，而且自由電荷受到感生電場(chǎng)力的大小可以根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義和法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)出來(lái)。
現(xiàn)將導(dǎo)體圓環(huán)替換成一個(gè)用絕緣細(xì)管做成的半徑為r的封閉圓形管道，且圓形管道的中心與磁場(chǎng)區(qū)域的中心重合（圖中未畫出）。管道內(nèi)有一小球，小球質(zhì)量為m,帶電量為+q.忽略小球的重力和一切阻力。t=0時(shí)小球靜止。求t=t₀時(shí)小球的速度大小及管道對(duì)小球的彈力大小。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：260引用：2難度：0.3
解析

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