【問(wèn)題情境】
（1）如圖1已知ABCD是正方形，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，求證：PB=PD；
請(qǐng)你完成證明．
【深入探究】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E、F，連接EF，猜想EF與DP的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）如圖3，延長(zhǎng)BP、CD交于點(diǎn)G，BG與AD交于點(diǎn)Q，H為GQ的中點(diǎn)，連接HD，則△DHP的形狀為 直角三角形直角三角形．
【拓展應(yīng)用】
（4）如圖4，在正方形ABCD中，若AB=4，P是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．則MN最小值為 2222．
?
2
2
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】直角三角形；2
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/28 8:0:9組卷：174引用：3難度：0.6
相似題
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1．已知正方形ABCD，E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點(diǎn)．
【探究建?！?br />（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上時(shí)，DE⊥DF，且B，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線．求證：AE=CF；
【類比應(yīng)用】
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線．猜想并證明線段AE，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系；
【拓展遷移】
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，DE與AB交于G點(diǎn)．若DF=3，AE=，求CE的長(zhǎng)．2發(fā)布：2025/6/14 9:0:1組卷：2516引用：17難度：0.1 -
2．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，以O(shè)為頂點(diǎn)作正方形OEFG，將正方形OEFG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．
（1）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，正方形OEFG與正方形ABCD重疊部分的面積為；
（2）連接BG，EC，延長(zhǎng)EC交BG于點(diǎn)H，判斷EC與BG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）連接DE，當(dāng)以B、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)D到OE的距離．
發(fā)布：2025/6/14 8:30:1組卷：464引用：2難度：0.3 -
3．【閱讀理解】
（1）如圖，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E是邊BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAE=∠BAC，12
求證：BD+CE＞DE．
我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．
小明的解題思路：將半角∠DAE兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)，在一邊合并成新的△AFE，然后證明與半角形成的△ADE全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)進(jìn)行等量代換，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．
請(qǐng)你根據(jù)小明的思路寫出完整的解答過(guò)程．
證明：將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ACF，使AB與AC重合，連接EF，
……
【應(yīng)用提升】
（2）如圖，正方形ABCD（四邊相等，四個(gè)角都是直角）的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿射線AD方向向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，連接BP，過(guò)點(diǎn)P作BP的垂線交過(guò)點(diǎn)Q平行于CD的直線l于點(diǎn)E，BE于CD相交于點(diǎn)F，連接PF，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），
①求∠PBE的度數(shù)；
②試探索在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△PDF的周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，試求這個(gè)定值．發(fā)布：2025/6/14 6:0:1組卷：733引用：3難度：0.1