1．2023年9月23日，杭州第19屆運動會開幕式現(xiàn)場，在AP技術加持下，寄托著古今美好心愿的燈籠升騰而起，溢滿整個大蓮花場館，融匯為點點星河流向遠方，繪就了一幅萬家燈火的美好圖景．燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品，經過數(shù)千做年的發(fā)展，燈籠也發(fā)展出了不同的地域風格，形狀也是千姿百態(tài)，每一種燈籠都具有獨特的藝術表現(xiàn)形式．現(xiàn)將一個圓柱形的燈籠切開，如圖所示，用平面BCC₁B₁表示圓柱的軸截面，BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為母線CC₁的中點，已知AA₁為一條母線，且AB=AC=AA₁=4．

（1）求證：平面AEO⊥平面AB₁O；
（2）求二面角O-AE-B₁的余弦值．

2．如圖，在三棱柱BCD-B₁C₁D₁與四棱錐A-BB₁D₁D的組合體中，已知BB₁⊥CD，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AD=2，BB₁=1，．
（1）求證：DD₁⊥平面ABCD．
（2）點P為直線B₁D₁上的動點，求平面PAB與平面DBB₁D₁所成角的余弦值的取值范圍．

3．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，E為AB的中點．將△ADE沿DE折起，使A到達A'，連接A'B，A'C，得到四棱錐A'-BCDE．

（1）證明：DE⊥A'B；
（2）當二面角A'-DE-B的平面角在內變化時，求直線A'C與平面A'DE所成角的正弦值的最大值．