當前位置： 2023-2024學年北京市朝陽區(qū)陳經綸中學高三（上）診斷數學試卷（9月份）> 試題詳情

設數列{a_n}滿足：a₁=1，
a
n
=
a
n
-
1
+
a
[
n
2
]
，n=2，3，…，其中[x]表示不超過實數x的最大整數．若a_n被正整數p除所得的余數為k,則記a_n=k（modp），若數列中不同的兩項a_i，a_j被p除所得余數相同，則記a_i=a_j（modp）．
（Ⅰ）直接寫出a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）若a_n≡0（mod7），證明：a_2n+1≡a_2n≡a_2n-1（mod7）；
（Ⅲ）證明：數列{a_n}有無窮多項是7的倍數．

【考點】數列的應用；數列遞推式．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/8/16 5:0:1組卷：27引用：1難度：0.5

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1．《孫子算經》是我國南北朝時期（公元5世紀）的數學著作．在《孫子算經》中有“物不知數”問題，其中記載：有物不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，問物幾何？即：一個整數除以三余二，除以五余三，求這個整數．設這個正整數為a,當a∈[1，200]時，符合條件的所有a的個數為（　?。?/h2>
A．12 B．13 C．24 D．25
發(fā)布：2024/11/14 5:0:2組卷：78引用：3難度：0.8
解析
2．農歷是我國古代通行歷法，被譽為“世界上最突出和最優(yōu)秀的智慧結晶”．它以月相變化周期為依據，每一次月相朔望變化為一個月，即“朔望月”，約為29.5306天．由于歷法精度的需要，農歷設置“閏月”，即按照一定的規(guī)律每過若干年增加若干月份，來修正因為天數的不完美造成的誤差，以使平均歷年與回歸年相適應：設數列{a_n}滿足
a
1
=
1
b
1
，
a
2
=
1
b
1
+
1
b
2
，
a
3
=
1
b
1
+
1
b
2
+
1
b
3
，…，其中b_n均為正整數：b₁=2，b₂=1，b₃=2，b₄=1，b₅=1，b₆=16，…，那么第n級修正是“平均一年閏a_n個月”．已知我國農歷為“19年共閏7個月”，則它是（　?。?/h2>
A．第6級修正 B．第5級修正 C．第4級修正 D．第3級修正
發(fā)布：2024/11/15 11:0:2組卷：197引用：2難度：0.5
解析
3．現有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個起點出發(fā)，測試它們一日可行的路程．已知第i（i=1，2，…，16）匹馬的日行路程是第i+1匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行路程為315里，則這17匹馬的日行路程之和約為（取1.05¹⁷=2.292）（　?。?/h2>
A．7750里 B．7752里 C．7754里 D．7756里
發(fā)布：2024/11/6 23:0:1組卷：63引用：3難度：0.8
解析

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