已知等腰△ABC，AC=AB，∠ABC=30°，CD⊥AB交BA延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線AC上運(yùn)動，連接BP，以BP為邊，并在BP的左側(cè)作等邊三角形BPE，連接AE．
（1）如圖1，當(dāng)BP⊥AC時，求證：△ABP≌△ACD；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)E在直線CP同側(cè)時，求證：AP=AB+AE；
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在定直線，使得線段BE、CE始終關(guān)于這條直線對稱，若存在，指出這一條直線，并加以證明；若不存在，請說明理由．
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．
【答案】（1）證明見解答；（2）證明見解答；（3）存在，理由見解答．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/10/5 7:0:1組卷：197引用：2難度：0.3
相似題
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1．在Rt△ABC中，∠C=90°，令∠B=α＜30°，線段BC的垂直平分線分別交線段AB、BC于點(diǎn)D，E．
（1）如圖1，用等式表示DE和AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）如圖2，將射線AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)2α交線段DE于點(diǎn)F，
①依題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示AF，EF，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．發(fā)布：2025/6/10 2:0:5組卷：164引用：1難度：0.3 -
2．觀察猜想
（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接DE，且DE=AE，將線段DE繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，則=，sin∠ADE=，EFAD
探究證明
（2）在（1）中，如果將點(diǎn)D沿CA方向移動，使CD=AC，其余條件不變，如圖2，上述結(jié)論是否保持不變？若改變，請求出具體數(shù)值：若不變，請說明理由13
拓展延伸
（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=a,點(diǎn)D在邊AC的延長線上，E是AB上任意一點(diǎn)，連接DE．ED=nAE，將線段DE繞著點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請用含有n,a的式子表示）EFAD
發(fā)布：2025/6/10 6:30:2組卷：1089引用：6難度：0.1 -
3．已知，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們公共的直角頂點(diǎn)，如圖1，D，E分別在BC，AC邊上，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，連接CF．
（1）求證：△ACD≌△BCE．
（2）請猜想AD與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖2，將△ABC固定不動，△DEC由圖1位置繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角∠BCD=α，（0°＜a＜90°），旋轉(zhuǎn)過程中，其他條件不變．試判斷，AD與CF的關(guān)系是否發(fā)生改變？若不變，請說明理由；若改變，請求出相關(guān)正確結(jié)論．
發(fā)布：2025/6/10 2:30:2組卷：225引用：2難度：0.4