“將軍飲馬問題”：如圖1所示，將軍每天從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的C點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？某課題組在探究這一問題時抽象出數學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最?。?br />解法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點即為P，且PA+PB的最小值為線段A′B的長．
（1）根據上面的描述，在備用圖中畫出解決“將軍飲馬問題”的圖形；
（2）利用軸對稱作圖解決“飲馬問題”的依據是 兩點之間線段最短兩點之間線段最短．
（3）應用：
①如圖2，已知∠AOB=30°，其內部有一點P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點（不同于點O），使△PCD的周長最小，請畫出草圖，并求出△PCD周長的最小值；
②如圖3，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上的中線且BF=b,點D在BF上，連接AD，在AD的右側作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是 12a+b12a+b，此時∠CFE=90°90°．
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【考點】三角形綜合題．
【答案】兩點之間線段最短；a+b；90°
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：813難度：0.4
相似題
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1．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在△ABC外部且AD⊥CD．
（1）如圖1，若BE∥AD交CD于點E，求證：AD=DE；
（2）如圖2，連接BD，點F在BD上且∠AFC=90°，若AF=3，求△ABF的面積；
（3）在（2）的條件下，若3BF=2DF，求AD的長．發(fā)布：2025/6/19 21:30:2組卷：199引用：1難度：0.2 -
2．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D為BC邊中點，點P從點D出發(fā)沿D-C-B的方向以每秒2個單位的速度向終點B運動，點Q從點D出發(fā)沿射線DB的方向以每秒2個單位的速度運動，當點P到達點B時，P、Q同時停住運動，以PQ為斜邊在PQ的上方作等腰直角三角形PQR，設運動時間為t秒（t＞0）．
（1）用含t的代數式表示PC的長；
（2）當點R落在AC上時，求t的值；
（3）設△ABC的重心為點O，當點O落在△PQR內部時，求t的取值范圍；
（4）設PR的中點為點M，當直線CM將△PQR的面積分成1：5的兩部分時，直接寫出t的值．發(fā)布：2025/6/19 21:30:2組卷：13引用：1難度：0.1 -
3．△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊AB、BC上，若BD=EC．
（1）如圖1，求證：∠AFD=60°；
（2）如圖2，FH為∠AFC的平分線，點H在FM的延長線上，連接HA、HC，∠AHC+∠AFC=180°，求證：AF+CF=FH；
（3）如圖3，在（2）的條件下，延長AF交CH的延長線于點K，點G在線段AH上，GH=CK，連接CG交FH于點M，FN=3，AK=8，求FH的長．
發(fā)布：2025/6/19 22:30:1組卷：480引用：2難度：0.1