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綜合與實踐
小明在劉老師的指導下開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．小明繼續(xù)利用上述結論進行探究．
【提出問題】
如圖1，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．
探究展示：

如圖2，作經過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°（依據1）．
∵∠B=∠D，∴∠AEC+∠B=180°，∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓），∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據2）．∴點A，B，C，D四點在同一個圓上．

【反思歸納】（1）上述探究過程中的“依據1”“依據2”分別是指什么？
依據1：
圓內接四邊形的對角互補
圓內接四邊形的對角互補
；依據2：
過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓
過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓
．
【拓展延伸】（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉，得到△ANM，旋轉角為α（0＜α＜90°），連接CM交BN于點D，連接BM．小明發(fā)現，旋轉過程中，點D始終為BN的中點，為驗證結論，小明連接AD，判斷A，D，B，C四點共圓后得出結論．
①請你幫小明證明ND=DB；
②當△BDM為直角三角形，且BN=4時，請直接寫出BC的長．

【考點】四點共圓．

【答案】圓內接四邊形的對角互補；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/7/2 8:0:9組卷：278引用：1難度：0.1

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1．綜合與實踐：
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究．
提出問題：
如圖1所示，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．
探究展示：
如圖2所示，作經過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°，（依據1）
∵∠B=∠D，
∴∠AEC+∠B=180°，
∴點A，B，C，E四點在同一個圓上，（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上，（依據2）
∴點A，B，C，D四點在同一個圓上；
反思歸納：

①圓內接四邊形對角互補；
②對角互補的四邊形四個頂點共圓；
③過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；
④經過兩點的圓的圓心在這兩點所連線段的垂直平分線上；

?（1）上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？
依據1：
；（從框內選一個選項，直接填序號）
依據2：
．（從框內選一個選項，直接填序號）
（2）如圖3所示，在四邊形ABCD中，∠1=∠2=80°，∠3=42°，則∠4的度數為
．
?

發(fā)布：2024/9/21 14:0:9組卷：223引用：1難度：0.4

解析

2．綜合與實踐
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究．
提出問題：
如圖1所示，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．

探究展示：
如圖2所示，作經過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°（依據1）
∵∠B=∠D
∴∠AEC+∠B=180°
∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據2）
∴點A，B，C，D四點在同一個圓上
反思歸納：
（1）上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？
依據1：
；
依據2：
．
（2）如圖3所示，在四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠3=42°，則∠4的度數為
．
拓展探究：
（3）如圖4所示，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．求證：A，D，B，E四點共圓．
發(fā)布：2024/7/21 8:0:9組卷：205難度：0.3
解析
3．請仔細閱讀以下材料：

定理一：一般地，如圖1，四邊形ABCD中，如果連接兩條對角線后形成的∠BAC=∠BDC，則A，B，C，D四點共圓．我們由定理可以進一步得出結論：∠BDA=∠BCA，∠DBC=∠DAC，∠ACD=∠ABD．
定理二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
溫馨提示：下面問題的關鍵地方或許能夠用到上述定理，如果用到，請直接運用相關結論；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法為主，只要正確，一樣得分．
探究問題：如圖2，在△ABC和△EFC中，AC=BC，EC=FC，∠ACB=∠ECF=90°，連接BF，AE交于點D，BF交AC于點H，連接CD．
（1）求證BF=AE；
（2）請直接寫出∠ADB=
度，∠BDC=
度；
（3）若∠DBC=15°，求證AH=2CD．
發(fā)布：2024/8/6 8:0:9組卷：359引用：3難度：0.1
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