已知定點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（2，0），定直線l：x=12，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說(shuō)明理由．
1
2
【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）x2-=1（y≠0）；
（Ⅱ）以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．
①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y=k（x-2）（k≠0）
與雙曲線x2-=1聯(lián)立消去y得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0
由題意知3-k2≠0且Δ＞0
設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則
y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2（+4）=
因?yàn)閤1、x2≠-1，所以直線AB的方程為y=（x+1）
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為（），
同理可得
因此==0
②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，直線方程為x=2，則B（2，3），C（2，-3）
AB的方程為y=x+1，因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為（），
同理可得
因此=0
綜上=0，即FM⊥FN
故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．
y
2
3
（Ⅱ）以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．
①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y=k（x-2）（k≠0）
與雙曲線x2-
y
2
3
由題意知3-k2≠0且Δ＞0
設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則
x 1 + x 2 = 4 k 2 k 2 - 3 |
x 1 x 2 = 4 k 2 + 3 k 2 - 3 |
y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2（
4
k
2
+
3
k
2
-
3
-
8
k
2
k
2
-
3
-
9
k
2
k
2
-
3
因?yàn)閤1、x2≠-1，所以直線AB的方程為y=
y
1
x
1
+
1
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為（
1
2
，
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
FM
=
（
-
3
2
，
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
）
同理可得
FN
=
（
-
3
2
，
3
y
2
2
（
x
2
+
1
）
）
因此
FM
?
FN
=
（
-
3
2
）
2
+
9
y
1
y
2
4
（
x
1
+
1
）
（
x
2
+
1
）
4
9
+
-
81
k
2
k
2
-
3
4
（
4
k
2
+
3
k
2
-
3
+
4
k
2
k
2
-
3
+
1
）
②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，直線方程為x=2，則B（2，3），C（2，-3）
AB的方程為y=x+1，因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為（
1
2
，
3
2
FM
=
（
-
3
2
，
3
2
）
同理可得
FN
=
（
-
3
2
，-
3
2
）
因此
FM
?
FN
=
（
-
3
2
）
2
+
3
2
×
（
-
3
2
）
綜上
FM
?
FN
故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：877引用：13難度：0.3
相似題
-
1．已知雙曲線C：
-x2a2=1（a＞0，b＞0）的左，右頂點(diǎn)分別是A1，A2，圓x2+y2=a2與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線A1M交C的右支于點(diǎn)P，若△MPA2是等腰三角形，且∠PA2M的內(nèi)角平分線與y軸平行，則C的離心率為（ ?。?/h2>y2b2發(fā)布：2024/12/17 19:30:2組卷：302引用：5難度：0.6 -
2．已知點(diǎn)M（1，2），點(diǎn)P在拋物線y2=8x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓（x-2）2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，則|PM|+|PQ|的最小值為（ ?。?/h2>
發(fā)布：2024/12/28 23:0:1組卷：210引用：2難度：0.8 -
3．一個(gè)酒杯的截面是拋物線的一部分，其方程x2=2y（0≤y≤20），杯內(nèi)放入一個(gè)球，要使球觸及杯底部，則球的半徑的取值范圍為（ ?。?/h2>
發(fā)布：2025/1/5 23:30:4組卷：59引用：1難度：0.5