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當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)了多種圓錐曲線規(guī)，其中的一種如圖1所示．四根等長(zhǎng)的桿用鉸鏈?zhǔn)孜叉溄?，?gòu)成菱形LF₂KQ．帶槽桿QF₁長(zhǎng)為

，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂間的距離為2，轉(zhuǎn)動(dòng)桿QF₁一周的過(guò)程中始終有|QE|=|EF₂|．點(diǎn)M在線段F₁F₂的延長(zhǎng)線上，且|MF₂|=1．
（1）建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)E的軌跡Γ的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₂的直線l₁與Γ交于A，B兩點(diǎn)．記直線MA，MB的斜率為k₁，k₂，證明：k₁+k₂為定值；
（3）過(guò)點(diǎn)M作直線l₂垂直于直線F₁F₂，在l₂上任取一點(diǎn)N，對(duì)于（2）中的A，B兩點(diǎn)，試證明：直線NA，NF₂，NB的斜率成等差數(shù)列．

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；數(shù)列與解析幾何的綜合；軌跡方程．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：195引用：3難度：0.1

相似題

1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)E與兩定點(diǎn)
A
（
4
5
，
4
5
）
，B（5，5）的距離之比為
2
5
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（2，2）作兩條直線分別與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，若直線PM與PN的斜率之積為1，試問(wèn)線段MN的中點(diǎn)是否在定直線上，若在定直線上，請(qǐng)求出直線的方程；若不在定直線上，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2024/10/23 11:0:2組卷：59引用：1難度：0.6
解析
2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）與橢圓
x
2
5
+
y
2
4
=
1
有公共的焦點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)Q（-3，-2）的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)在拋物線C上是否存在定點(diǎn)P，使得直線PA，PB的斜率存在且非零時(shí)，滿足兩直線的斜率之積為1，若存在．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2024/10/23 18:0:1組卷：73引用：1難度：0.2
解析
3．已知橢圓Γ：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，直線l過(guò)左焦點(diǎn)F₁與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，記
c
=
a
2
-
b
2
，A（x₀，y₀），B（x₁，y₁）．
（1）若橢圓Γ的離心率為
1
2
，三角形F₁F₂A的周長(zhǎng)為6，求橢圓Γ的方程；
（2）求證：
（
a
2
+
c
2
）
（
x
0
+
x
1
）
+
2
c
x
0
x
1
+
2
a
2
c
=
0
；
（3）直線AF₂與橢圓交于另一點(diǎn)C（x₂，y₂），若b=c=1，求y₁-y₂的最大值．?
發(fā)布：2024/10/23 14:0:2組卷：66引用：1難度：0.3
解析

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