已知等軸雙曲線的頂點(diǎn)F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且x=433是橢圓與雙曲線某個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)M，求證：直線l恒過定點(diǎn)．
4
3
3
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）；
（2）證明：由題意可知，直線l與x軸不垂直，
設(shè)直線l：y=kx+m（m≠2），與橢圓C：相交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立方程組
，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
所以，
因?yàn)椤螦MB=90°，所以（x1，y1-2）?（x2，y2-2）=0，即x1x2+（y1-2）（y2-2）=0，
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，
整理可得，
因?yàn)閙≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，
整理可得3m+2=0，
所以，
故直線l恒過定點(diǎn)．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）證明：由題意可知，直線l與x軸不垂直，
設(shè)直線l：y=kx+m（m≠2），與橢圓C：
x
2
8
+
y
2
4
=
1
聯(lián)立方程組
y = kx + m |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
所以
x
1
+
x
2
=
-
4
km
2
k
2
+
1
，
x
1
x
2
=
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
因?yàn)椤螦MB=90°，所以（x1，y1-2）?（x2，y2-2）=0，即x1x2+（y1-2）（y2-2）=0，
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，
整理可得
（
k
2
+
1
）
?
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
+
k
（
m
-
2
）
?
-
4
km
2
k
2
+
1
+
（
m
-
2
）
2
=
0
因?yàn)閙≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，
整理可得3m+2=0，
所以
m
=
-
2
3
故直線l恒過定點(diǎn)
（
0
，-
2
3
）
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：124引用：3難度：0.4
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-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
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2．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4556引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
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