當(dāng)前位置： 2021-2022學(xué)年天津四十七中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

如圖，已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（0，
3
），離心率為
1
2
，直線l過點(diǎn)F₂與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)N為△F₁AF₂的內(nèi)心（三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），求△F₁NF₂與△F₁AF₂面積的比值；
（3）設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)₂，B在直線x=4上的射影依次為點(diǎn)D，G，E．連結(jié)AE，BD，試問：當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)T？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：367引用：7難度：0.5

相似題

1．傳說，意大利的西西里島有個(gè)山洞是用來關(guān)押罪犯的．罪犯?jìng)冊(cè)啻蚊苤\商議逃跑，但不管多完美的計(jì)劃都會(huì)被獄卒發(fā)現(xiàn)．原來山洞內(nèi)的空間是一個(gè)橢球體，最大截面部分是一個(gè)橢圓面，罪犯和獄卒所待的地方正好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，罪犯?jìng)冋f的話經(jīng)過洞壁的反射，最終都傳向了獄卒所在的地方，即橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，這里面蘊(yùn)含著橢圓的光學(xué)性質(zhì)．請(qǐng)利用橢圓的該性質(zhì)解決下列問題：已知P是橢圓C：
x
2
4
+
y
2
3
=1上的點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，cos∠F₁PF₂=
3
4
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O到橢圓C在P處的切線的距離為（　　）
A．
3
2
B．
14
2
C．
14
3
D．
5
3
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：67引用：1難度：0.5
解析
2．橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：現(xiàn)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程
x
2
4
+
y
2
3
=1，點(diǎn)A，B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)．當(dāng)靜止的小球從點(diǎn)A開始出發(fā)，沿60°角方向做直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程為
．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：84引用：1難度：0.8
解析
3．甲、乙兩名探險(xiǎn)家在桂林山中探險(xiǎn)，他們來到一個(gè)山洞，洞內(nèi)是一個(gè)橢球形，截面是一個(gè)橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的A、B兩點(diǎn)處，甲站在A處唱歌時(shí)離A處有一定距離的乙在B處聽得很清晰，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，符合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，即從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)已知橢圓：C：
x
2
100
+
y
2
36
=1上一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作切線l,A，B兩點(diǎn)為左、右焦點(diǎn)，cos∠AMB=-
1
4
，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為
．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：68引用：2難度：0.5
解析

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