當(dāng)前位置： 2020年上海中學(xué)高考數(shù)學(xué)綜合測(cè)試試卷（二）（4月份）> 試題詳情

已知橢圓Γ：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)：
（1）求橢圓Γ的方程：
（2）設(shè)點(diǎn)A在橢圓Γ上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，求證：
1
O
A
2
+
1
O
B
2
為定值：
（3）設(shè)點(diǎn)C在Γ上運(yùn)動(dòng)，OC⊥OD，且點(diǎn)O到直線CD距離為常數(shù)d（0＜d＜2），求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程：

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：157引用：3難度：0.5

相似題

1．甲、乙兩名探險(xiǎn)家在桂林山中探險(xiǎn)，他們來(lái)到一個(gè)山洞，洞內(nèi)是一個(gè)橢球形，截面是一個(gè)橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的A、B兩點(diǎn)處，甲站在A處唱歌時(shí)離A處有一定距離的乙在B處聽(tīng)得很清晰，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，符合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，即從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)已知橢圓：C：
x
2
100
+
y
2
36
=1上一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作切線l,A，B兩點(diǎn)為左、右焦點(diǎn)，cos∠AMB=-
1
4
，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為
．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：68引用：2難度：0.5
解析
2．傳說(shuō)，意大利的西西里島有個(gè)山洞是用來(lái)關(guān)押罪犯的．罪犯?jìng)冊(cè)啻蚊苤\商議逃跑，但不管多完美的計(jì)劃都會(huì)被獄卒發(fā)現(xiàn)．原來(lái)山洞內(nèi)的空間是一個(gè)橢球體，最大截面部分是一個(gè)橢圓面，罪犯和獄卒所待的地方正好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，罪犯?jìng)冋f(shuō)的話經(jīng)過(guò)洞壁的反射，最終都傳向了獄卒所在的地方，即橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，這里面蘊(yùn)含著橢圓的光學(xué)性質(zhì)．請(qǐng)利用橢圓的該性質(zhì)解決下列問(wèn)題：已知P是橢圓C：
x
2
4
+
y
2
3
=1上的點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，cos∠F₁PF₂=
3
4
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O到橢圓C在P處的切線的距離為（　?。?/h2>
A．
3
2
B．
14
2
C．
14
3
D．
5
3
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：67引用：1難度：0.5
解析
3．橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：現(xiàn)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，滿足方程
x
2
4
+
y
2
3
=1，點(diǎn)A，B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)．當(dāng)靜止的小球從點(diǎn)A開(kāi)始出發(fā)，沿60°角方向做直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程為
．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：84引用：1難度：0.8
解析

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