已知⊙O為△ACD的外接圓，AD=CD．
（1）如圖1，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)B，使BD=AD，連接CB．
①求證：△ABC為直角三角形；
②若⊙O的半徑為4，AD=5，求BC的值；
（2）如圖2，若∠ADC=90°，E為⊙O上的一點(diǎn)，且點(diǎn)D，E位于AC兩側(cè)，作△ADE關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)的圖形△ADQ，連接QC，試猜想QA，QC，QD三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②；（2）QC2=2QD2+QA2；證明見(jiàn)解析．
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【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：3150引用：10難度：0.2
相似題
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1．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)．CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥DC，交半圓O于點(diǎn)E．連接AC，BC．
（1）求證：AC是∠DAB的角平分線(xiàn)；
（2）若AD=2，AB=3，求AC的長(zhǎng)；
（3）若AE=2DE．試判斷以O(shè)，A，E，C為頂點(diǎn)的四邊形的形狀為．發(fā)布：2025/5/25 1:0:1組卷：395引用：2難度：0.3 -
2．如圖，四邊形ABCE內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，點(diǎn)C是BF的中點(diǎn)，∠BCD=∠CAE．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求證：△CEF是等腰三角形；
（3）若BD=1，CD=2，求cos∠CBA的值及EF的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/5/25 1:0:1組卷：818引用：7難度：0.1 -
3．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，以AE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（1）求證：①BC是⊙O的切線(xiàn)；
②CD2=CE?CA；
（2）若點(diǎn)F是劣弧AD的中點(diǎn)，且CE=3，試求陰影部分的面積．發(fā)布：2025/5/25 1:0:1組卷：3655引用：17難度：0.4