當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年浙江省湖州中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

已知雙曲線E：
x
2
a
2
-
y
2
4
=1（a＞0）的中心為原點(diǎn)O，左右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率為
3
5
，點(diǎn)P是直線x=
a
2
3
上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線E上，且滿(mǎn)足
P
F
2
?
Q
F
2
=0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求證：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值，并求出此定值；
（3）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M，N，在線段MN上取異于點(diǎn)M，N的點(diǎn)H，滿(mǎn)足
|
PM
|
|
PN
|
=
|
MH
|
|
HN
|
，試問(wèn)：點(diǎn)H是否恒在一條定直線上，若是，請(qǐng)求出這條定直線，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：172引用：3難度：0.4

相似題

1．如圖1，已知拋物線C：y=3x²（x≥0）與直線x=a.直線x=b（其中0≤a≤b）及x軸圍成的曲邊梯形（陰影部分）的面積可以由公式S=b³-a³來(lái)計(jì)算，則如圖2，過(guò)拋物線C：y=3x²（x≥0）上一點(diǎn)A（點(diǎn)A在y軸和直線x=2之間）的切線為l,S₁是拋物線y=3x²與切線l及直線y=0所圍成圖形的面積，S₂是拋物線y=3x²與切線l及直線x=2所圍成圖形的面積，求面積s₁+s₂的最小值．
發(fā)布：2024/11/11 8:0:1組卷：6引用：1難度：0.1
解析
2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；
（3）求出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)的新問(wèn)題，我們把它稱(chēng)為原來(lái)問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題．
例如，原來(lái)問(wèn)題是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積
16
3
后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為
16
3
，求側(cè)棱長(zhǎng)”；也可以是“若正四棱錐的體積為
16
3
，求所有側(cè)面面積之和的最小值”．
現(xiàn)有正確命題：過(guò)點(diǎn)
A
（
-
p
2
，
0
）
的直線交拋物線C：y²=2px（p＞0）于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R，則直線RQ必過(guò)焦點(diǎn)F．
試給出上述命題的“逆向”問(wèn)題，并解答你所給出的“逆向”問(wèn)題．
發(fā)布：2024/11/12 8:0:1組卷：21引用：3難度：0.7
解析
3．橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知Q（x₀，y₀）為橢圓上任意一點(diǎn)，求以Q為切點(diǎn)，橢圓的切線方程．
（3）設(shè)點(diǎn)P為直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作橢圓兩條切線PA，PB，求證直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：77引用：1難度：0.1
解析

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