在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F、T、M、P滿足OF=（1，0），OT=（-1，t），FM=MT，PM⊥FT，PT∥OF．
（Ⅰ）當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求證：直線TA、TF、TB的斜率依次成等差數(shù)列．
OF
=
（
1
，
0
）
OT
=
（
-
1
，
t
）
FM
=
MT
，
PM
⊥
FT
，
PT
∥
OF
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）y2=4x；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線TA，TF，TB的斜率依次為k1，k，k2，并記A（x1，y1），B（x2，y2），
則
設(shè)直線AB方程為x=my+1
，得y2-4my-4=0，∴
，
∴+=（y1+y2）2-2y1y2=16m2+8，
∴
=
=
=-t=2k
∴k1，k，k2成等差數(shù)列．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線TA，TF，TB的斜率依次為k1，k，k2，并記A（x1，y1），B（x2，y2），
則
k
=
-
t
2
設(shè)直線AB方程為x=my+1
y 2 = 4 x |
x = my + 1 |
y 1 + y 2 = 4 m |
y 1 ? y 2 = - 4 |
∴
y
2
1
y
2
2
∴
k
1
+
k
2
=
y
1
-
t
x
1
+
1
+
y
2
-
t
x
2
+
1
=
（
y
1
-
t
）
（
y
2
2
4
+
1
）
+
（
y
2
-
t
）
（
y
2
1
4
+
1
）
（
y
2
1
4
+
1
）
（
y
2
2
4
+
1
）
=
4
y
1
y
2
（
y
1
+
y
2
）
-
4
t
（
y
2
1
+
y
2
2
）
+
16
（
y
1
+
y
2
）
-
32
t
y
2
1
y
2
2
+
4
（
y
2
1
+
y
2
2
）
+
16
=-t=2k
∴k1，k，k2成等差數(shù)列．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：103引用：5難度：0.1
相似題
-
1．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
2．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7