當(dāng)前位置： 2023年重慶市七校高考數(shù)學(xué)三診試卷> 試題詳情

已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
1
2
，A，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)．P，Q為橢圓C上異于A的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP，AQ與直線l：x=4分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程：
（2）設(shè)直線l與x軸交于R，若P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，求證：△MFR與△FNR相似．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：34引用：1難度：0.6

相似題

1．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線l′表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：
如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F₁（-c,0），F(xiàn)₂（c,0）（c＞0），由F₁發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F₁經(jīng)過的路程為
8
3
3
c
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為l,F₂在l上的射影H在圓x²+y²=4上，求橢圓C的方程．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：137引用：1難度：0.5
解析
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C：
x
2
2
+
y
2
=1上，且直線OA，OB的斜率之積為-
1
2
，則x₁²-y₁²+x₂²-y₂²=（　?。?/h2>
A．1 B．3 C．2 D．
5
2
發(fā)布：2024/11/5 5:30:3組卷：192引用：2難度：0.7
解析
3．橢圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)有一橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，長(zhǎng)軸A₁A₂長(zhǎng)為4，從一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且
PF
=
5
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)Q為直線x=4上一點(diǎn)，且Q不在x軸上，直線QA₁，QA₂與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)△QA₁A₂，△QMN的面積分別為S₁，S₂，求
S
1
S
2
的最大值．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：43引用：2難度：0.5
解析

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2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓C：x22+y2=1上，且直線OA，OB的斜率之積為-12，則x12-y12+x22-y22=（ ?。?/h2>

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C：
x
2
2
+
y
2
=1上，且直線OA，OB的斜率之積為-
1
2
，則x₁²-y₁²+x₂²-y₂²=（　?。?/h2>