背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最?。@個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當△ABC三個內角均小于120°時，費馬點P在△ABC內部，當∠APB=∠APC=∠CPB=120°時，則PA+PB+PC取得最小值．
（1）如圖2，等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數，為了解決本題，我們可以將△APB繞頂點A旋轉到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出∠APB=150°150°；
知識生成：怎樣找三個內角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點．請同學們探索以下問題．
（2）如圖3，△ABC三個內角均小于120°，在△ABC外側作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過△ABC的費馬點．
（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點P為△ABC的費馬點，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．
【考點】三角形綜合題．
【答案】150°
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/25 8:0:9組卷：1617引用：4難度：0.1
相似題
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1．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，點D為△ABC內一點，∠ABD=∠ACD=20°，E為BD延長線上的一點，且AB=AE．
（1）求∠BAD的度數；
（2）求證：DE平分∠ADC；
（3）請判斷AD，BD，DE之間的數量關系，并說明理由．發(fā)布：2025/6/21 1:30:2組卷：1216引用：5難度：0.4 -
2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=6．動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒個單位長度的速度向終點B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿折線BC-CA以每秒3個單位長度的速度向終點A勻速運動．當點P不與點A、B重合時，連結PQ，以PQ為斜邊作Rt△PMQ，使∠PMQ=90°，tan∠MPQ=5，且點M、B在直線PQ的兩側．設點Q的運動時間為t秒．43
（1）用含t的代數式表示CQ的長．
（2）當PM⊥AB時，求PQ的長．
（3）當點M在△ABC內部時，求t的取值范圍．
（4）當△ABC的邊與△PMO的邊所夾的角被線段PQ平分時，直接寫出t的值．發(fā)布：2025/6/20 10:30:1組卷：82引用：1難度：0.1 -
3．如圖1，在△ABC中，BO⊥AC于點O，AO=BO=3，OC=1，過點A作AH⊥BC于點H，交BO于點P．
（1）求線段OP的長度；
（2）連接OH，求證：∠OHP=45°；
（3）如圖2，若點D為AB的中點，點M為線段BO延長線上一動點，連接MD，過點D作DN⊥DM交線段OA延長線于N點，則S△BDM-S△ADN的值是否發(fā)生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．
發(fā)布：2025/6/20 14:30:1組卷：3194引用：5難度：0.3