如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn)．
（1）證明：EF⊥BC；
（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值；
（3）求平面AA1C與平面A1CB夾角的正弦值．
【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面所成的角．
【答案】（1）證明見解答．（2）．
（3）平面AA1C與平面A1CB夾角的正弦值為．
cosθ
=
3
5
（3）平面AA1C與平面A1CB夾角的正弦值為
2
5
5
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：433引用：1難度：0.5
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1．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，將一個(gè)正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正三角形所在平面的夾角正切值為（ ?。?/h2>發(fā)布：2024/11/9 21:30:1組卷：173引用：3難度：0.5 -
2．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1滿足棱長(zhǎng)都相等且AA1⊥平面ABC，D是棱CC1的中點(diǎn)，E是棱AA1上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)AE=x,隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（ ?。?/h2>發(fā)布：2024/12/11 21:0:1組卷：1628引用：12難度：0.3 -
3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=CC1=4，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，則平面ABB1A1與平面B1CD所成角的正弦值為（ ）發(fā)布：2024/11/15 14:30:2組卷：446引用：2難度：0.6