【問題】用n邊形的對(duì)角線把n邊形分割成（n-2）個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案（n≥4）？
【探究】為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單情形入手，再逐次遞進(jìn)轉(zhuǎn)化，最后猜想得出結(jié)論．不妨假設(shè)n邊形的分割方案有f（n）種．
探究一：用四邊形的對(duì)角線把四邊形分割成2個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？如圖①，圖②，顯然，只有2種不同的分割方案．所以，f（4）=2．
探究二：用五邊形的對(duì)角線把五邊形分割成3個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三類：
第1類：如圖③，用A，E與B連接，先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有f（4）種不同的分割方案，所以，此類共有f（4）種不同的分割方案．
第2類：如圖④，用點(diǎn)A，E與C連接，把五邊形分割成3個(gè)三角形，有1種不同的分割方案，可視為12f（4）種分割方案．
第3類：如圖⑤，用點(diǎn)A，E與D連接，先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有f（4）種不同的分割方案，所以，此類共有f（4）種不同的分割方案．
所以，f（5）=f（4）+12f（4）+f（4）=52×f（4）=104×f（4）=5（種）
探究三：用六邊形的對(duì)角線把六邊形分割成4個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四類：
第1類：如圖⑥，用A，F(xiàn)與B連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形，再把五邊形分割成3個(gè)三角形，由探究二知，有f（5）種不同的分割方案，所以，此類共有f（5）種不同的分割方案．
第2類：如圖⑦，用A，F(xiàn)與C連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形．再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有f（4）種不同的分割方案．所以，此類共有f（4）種分割方案．
第3類：如圖⑧，用A，F(xiàn)與D連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形．再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有f（4）種不同的分割方案．所以，此類共有f（4）種分割方案．
第4類：如圖⑨，用A，F(xiàn)與E連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形．再把五邊形分割成3個(gè)三角形，由探究二知，有f（5）種不同的分割方案．所以，此類共有f（5）種分割方案．
所以，f（6）=f（5）+f（4）+f（4）+f（5）=f（5）+25f（5）+25f（5）+f（5）=145f（5）=14（種）
探究四：用七邊形的對(duì)角線把七邊形分割成5個(gè)三角形，則f（7）與f（6）的關(guān)系為：f（7）=（??）6×f（6），共有 4242種不同的分割方案．
…
【結(jié)論】用n邊形的對(duì)角線把n邊形分割成（n-2）個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案（n≥4）？（直接寫出f（n）與f（n-1）的關(guān)系式，不寫解答過程）．
【應(yīng)用】用九邊形的對(duì)角線把九邊形分割成7個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？（應(yīng)用上述結(jié)論，寫出解答過程）
1
2
f
（
4
）
1
2
f
（
4
）
+
f
（
4
）
=
5
2
×
f
（
4
）
=
10
4
×
f
（
4
）
2
5
f
（
5
）
+
2
5
f
（
5
）
+
f
（
5
）
=
14
5
f
（
5
）
（
??
）
6
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】42
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：32引用：1難度：0.1
相似題
-
1．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠DAC=60°，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，AE=AB，點(diǎn)F是對(duì)角線AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF．
（1）如圖1，若點(diǎn)F與對(duì)角線交點(diǎn)O重合，已知BE=4，OC：EC=5：3，求AC的長(zhǎng)度；
（2）如圖2，若EC=FC，點(diǎn)G是AC邊上一點(diǎn)，連接BG、EG，已知∠AEG=60°，∠AGB+∠BCD=180°，求證：BG+EG=DC．
（3）如圖3，若BE=4，CE=，將EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EF'，請(qǐng)直接寫出當(dāng)AF'+433BF'取得最小值時(shí)△ABF′的面積．12
發(fā)布：2025/6/21 23:30:2組卷：402引用：1難度：0.4 -
2．平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，點(diǎn)E在邊AD上，連BE．
（1）如圖1，AC交BE于點(diǎn)G，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=2，請(qǐng)求出四邊形EGCD的面積；
（2）如圖2，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF=AB，連BF，過點(diǎn)F作FH⊥BE于H，連AH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)N在邊AD上，連MN．若AN=BF，2∠NMD=∠DAC+∠HBF，求證：HF+AH=AC．2
（3）如圖3，線段PO在線段BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R在邊BC上，連接CQ、PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°，AB=，PQ=3，BC=4BR．請(qǐng)直接寫出線段CQ+PQ+PR的和的最小值以及此時(shí)△CQE的面積．32
發(fā)布：2025/6/22 1:0:1組卷：261引用：3難度：0.5 -
3．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、F在BC上，且CF=BE，連接DE，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若∠B=60°，DE平分∠ADC，且CD=2CF，CD=6，求平行四邊形ABCD的面積．3
（2）點(diǎn)H在GF上，且HE=HF，延長(zhǎng)EH交AC，CD于點(diǎn)O，Q，連接AQ，若AC=BC=EQ，∠EQC=45°，求證：CE=BG+DQ．2發(fā)布：2025/6/21 23:0:2組卷：155引用：1難度：0.1