（1）先觀察下列等式，再完成題后問題：

1

2

×

3

=

1

2

-

1

3

，

1

3

×

4

=

1

3

-

1

4

，

1

4

×

5

=

1

4

-

1

5

①請你猜想：

1

2020

×

2021

=

1

2020

-

1

2021

1

2020

-

1

2021

．
②若a、b為有理數(shù)，且|a-1|+|b-2|=0，
求：

1

ab

+

1

（

a

+

1

）

（

b

+

1

）

+

1

（

a

+

2

）

（

b

+

2

）

+…+

1

（

a

+

2009

）

（

b

+

2009

）

的值．
（2）探究并計算：

1

1

×

3

+

1

3

×

5

+

1

5

×

7

+…+

1

1999

×

2001

．
（3）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為

1

2

的長方形，接著把面積為

1

2

的長方形等分成兩個面積為

1

4

的正方形，再把面積為

1

4

的正方形等分成兩個面積為

1

8

的矩形，如此進行下去，試利用圖形揭示的規(guī)律計算：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

1024

（直接寫答案）．