在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)圓x2+y2-4x=0的圓心為Q．
（1）求過點(diǎn)P（0，-4）且與圓Q相切的直線的方程；
（2）若過點(diǎn)P（0，-4）且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B，以O(shè)A、OB為鄰邊做平行四邊形OACB，問是否存在常數(shù)k,使得?OACB為矩形？請說明理由．
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．
【答案】（1）或x=0；
（2）k=2，假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)k，則設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
得（1+k2）x2-（8k+4）x+16=0
∵Δ=16（2k+1）2-64（1+k2）＞0，
∴，
∴，且y1+y2=k（x1+x2），
∵=（x1+x2，y1+y2），∴，
又=，
要使平行四邊形OACB矩形，則=，
所以k=2，∴存在常數(shù)k=2，使得平行四邊形OACB為矩形．
另解：圓周角∠BOA=90°，AB為直徑過圓心，
圓心Q（2，0）代入直線y=kx-4，
解得k=2．
y
=
3
4
x
-
4
（2）k=2，假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)k，則設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
y = kx - 4 |
x 2 + y 2 - 4 x = 0 |
∵Δ=16（2k+1）2-64（1+k2）＞0，
∴
k
＞
3
4
∴
x
1
+
x
2
=
8
k
+
4
1
+
k
2
-
8
=
4
k
-
8
1
+
k
2
∵
OC
=
OA
+
OB
|
OC
|
2
=
（
x
1
+
x
2
）
2
+
（
y
1
+
y
2
）
2
=
80
1
+
k
2
又
|
AB
|
=
2
4
-
（
2
k
-
4
）
2
1
+
k
2
4
4
k
-
3
1
+
k
2
要使平行四邊形OACB矩形，則
|
OC
|
2
=
80
1
+
k
2
|
AB
|
2
=
16
（
4
k
-
3
1
+
k
2
）
所以k=2，∴存在常數(shù)k=2，使得平行四邊形OACB為矩形．
另解：圓周角∠BOA=90°，AB為直徑過圓心，
圓心Q（2，0）代入直線y=kx-4，
解得k=2．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：223引用：8難度：0.3
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