當前位置： 2022-2023學年浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學高二（上）期中數(shù)學試卷> 試題詳情

已知曲線C：y=x²上一點P₁（1，1），過P₁作曲線C的切線交x軸于Q₁
點，P₂Q₁垂直于x軸且交曲線于P₂；再過P₂作曲線C的切線交x軸于Q₂…，依次過P_n
作曲線C的切線x軸于Q_n，P_n+1Q_n垂直于x軸，得到一系列的點P_n（x_n，y_n），其中n∈N^．
（1）求Q₁的坐標和數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）設(shè)△OP_n+1Q_n，的面積為S_n，T_n為數(shù)列{n?S_n}的前n項和，是否存在實數(shù)M，使得T_n＜M對于一切n∈N^恒成立，若存在求出M的最小值，不存在說明理由．

【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列與解析幾何的綜合．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：56引用：1難度：0.5

相似題

1．已知一組2n（n∈N^*）個數(shù)據(jù)：a₁，a₂，…，a_2n，滿足：a₁≤a₂≤…≤a_2n，平均值為M，中位數(shù)為N，方差為s²，則（　　）
A．a(chǎn)_n≤M≤a_n+1
B．a(chǎn)_n≤N≤a_n+1
C．函數(shù)
f
（
x
）
=
2
n
∑
i
=
1
（
x
-
a
i
）
2
的最小值為2ns²
D．若a₁，a₂，…，a_2n成等差數(shù)列，則M=N
發(fā)布：2024/12/29 7:30:2組卷：54引用：4難度：0.5
解析
2．先閱讀參考材料，再解決此問題：
參考材料：求拋物線弧y=x²（0≤x≤2）與x軸及直線x=2圍成的封閉圖形的面積
解：把區(qū)間[0，2]進行n等分，得n-1個分點A（
2
i
n
，0）（i=1，2，3，…，n-1），過分點A_i，作x軸的垂線，交拋物線于B_i，并如圖構(gòu)造n-1個矩形，先求出n-1個矩形的面積和S_n-1，再求
lim
n
→∞
S_n-1，即是封閉圖形的面積，又每個矩形的寬為
2
n
，第i個矩形的高為（
2
i
n
）²，所以第i個矩形的面積為
2
n
?（
2
i
n
）²；
S_n-1=
2
n
[
4
?
1
2
n
2
+
4
?
2
2
n
2
+
4
?
3
2
n
2
+…+
4
?
（
n
-
1
）
2
n
2
]=
8
n
3
[1²+2²+3²+…+（n-1）²]=
8
n
3
?
n
（
n
-
1
）
（
2
n
-
1
）
6

所以封閉圖形的面積為
lim
n
→∞
8
n
3
?
n
（
n
-
1
）
（
2
n
-
1
）
6
=
8
3

閱讀以上材料，并解決此問題：已知對任意大于4的正整數(shù)n,不等式
1
-
1
2
n
2
+
1
-
2
2
n
2
+
1
-
3
2
n
2
+…+
1
-
（
n
-
1
）
2
n
2
＜an恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為
．
發(fā)布：2024/12/29 7:0:1組卷：70引用：2難度：0.5
解析
3．已知公比為q的正項等比數(shù)列{a_n}，其首項a₁＞1，前n項和為S_n，前n項積為T_n，且函數(shù)f（x）=x（x+a₁）（x+a₂）?（x+a₉）在點（0，0）處切線斜率為1，則（　　）
A．數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增 B．數(shù)列{lga_n}單調(diào)遞減
C．n=4或5時，T_n取值最大 D．
S
n
＜
1
q
4
（
1
-
q
）
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：30引用：3難度：0.5
解析

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A．數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增	B．數(shù)列{lga_n}單調(diào)遞減
C．n=4或5時，T_n取值最大	D． S n ＜ 1 q 4 （ 1 - q ）

1．已知一組2n（n∈N*）個數(shù)據(jù)：a1，a2，…，a2n，滿足：a1≤a2≤…≤a2n，平均值為M，中位數(shù)為N，方差為s2，則（ ）

3．已知公比為q的正項等比數(shù)列{an}，其首項a1＞1，前n項和為Sn，前n項積為Tn，且函數(shù)f（x）=x（x+a1）（x+a2）?（x+a9）在點（0，0）處切線斜率為1，則（ ）

1．已知一組2n（n∈N^*）個數(shù)據(jù)：a₁，a₂，…，a_2n，滿足：a₁≤a₂≤…≤a_2n，平均值為M，中位數(shù)為N，方差為s²，則（　　）

3．已知公比為q的正項等比數(shù)列{a_n}，其首項a₁＞1，前n項和為S_n，前n項積為T_n，且函數(shù)f（x）=x（x+a₁）（x+a₂）?（x+a₉）在點（0，0）處切線斜率為1，則（　　）