（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】（1）證明見解答；
（2）△ABD≌△CAE成立，證明見解答；
（3）證明見解答．
（2）△ABD≌△CAE成立，證明見解答；
（3）證明見解答．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：150引用：2難度：0.3
相似題
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1．綜合與實(shí)踐
問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：
如圖1，在△ABC中，D在AB邊上，E在AC邊上，BE與CD相交于點(diǎn)F，∠A=∠EBC+∠DCB．
求證∠A+∠DFE=180°．
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問題．
實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請(qǐng)你解答．
“如圖2，若AB=AC．猜想線段BE與線段CD的數(shù)量關(guān)系，并證明．”
問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問題進(jìn)行研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AE=EF時(shí)，若給出圖2中任意兩邊長(zhǎng)，則圖2中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長(zhǎng)均可求．該小組提出下面的問題，請(qǐng)你解答．
“如圖3，在（2）的條件下，若AE=EF=2，EC=3，求AD的長(zhǎng)．
發(fā)布：2025/6/9 14:30:1組卷：125引用：1難度：0.1 -
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ⊥AB交折線AC-CB于點(diǎn)Q，作點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)C'．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，設(shè)直線PQ與直線BC交于點(diǎn)M，當(dāng)△APQ和△QCM全等時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)△PCC'為等邊三角形時(shí)，直接寫出滿足條件的t值；
（4）當(dāng)點(diǎn)C'和△ABC的某兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等時(shí)，直接寫出滿足條件的t值．發(fā)布：2025/6/9 16:0:2組卷：111引用：1難度：0.2 -
3．如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∠CAB和∠ACB的角平分線AE，CD交于點(diǎn)P，AC邊上的高BF與AE、CD分別交于點(diǎn)G、H，M、N分別為DH、EG的中點(diǎn)，連接MN、BM、BN，下列說法正確的是 ．
①BF=4.8，
②△ABP與△CBP的面積之比為3：4，
③△BDH為等腰三角形，
④BN⊥AE，
⑤∠MNP=∠EAB（請(qǐng)?zhí)钊胂鄳?yīng)的序號(hào)）．發(fā)布：2025/6/9 16:0:2組卷：160引用：1難度：0.4