【問題背景】在學(xué)習(xí)了等腰三角形等有關(guān)知識后，數(shù)學(xué)活動小組發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角平分線遇上平行線時(shí)一般可得等腰三角形．如圖1，P為∠AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，常過點(diǎn)P作PD∥OB交OA于點(diǎn)D，易得△POD為等腰三角形．
（1）【基本運(yùn)用】如圖2，把長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，則重合部分△ACE是等腰三角形．請將以下過程或理由補(bǔ)充完整：
∵在長方形ABCD中，DC∥AB，
∴∠ACD=∠BAC，由折疊性質(zhì)可得：∠BAC=∠B′AC∠BAC=∠B′AC，
∴∠ACD=∠B'AC，
∴AE=CE，（依據(jù)是：等角對等邊等角對等邊）
∴△ACE是等腰三角形；
（2）【類比探究】如圖3，△ABC中，內(nèi)角∠ABC與外角∠ACG的角平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，試探究線段BD、DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
（3）【拓展提升】如圖4，四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠BAD，連接BE，求證：AE⊥BE．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】∠BAC=∠B′AC；等角對等邊
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/5/28 8:0:9組卷：207引用：2難度：0.1
相似題
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1．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．過點(diǎn)A作對角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點(diǎn)E．P為邊BD上的一個(gè)動點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，D重合），連接PA，PE，AC．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）求四邊形ABDE的周長和面積；
（3）記△ABP的周長和面積分別為C1和S1，△PDE的周長和面積分別為C2和S2，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，試探究下列兩個(gè)式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請直接寫出這個(gè)定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：574引用：1難度：0.2 -
2．如圖，菱形ABCD中，AB=5，連接BD，sin∠ABD=
，點(diǎn)P是射線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），AP與對角線BD交于點(diǎn)E，連接EC．55
（1）求證：AE=CE；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，設(shè)BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面積；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，若△PEC是直角三角形，請直接寫出BP的長．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：254引用：1難度：0.1 -
3．如圖，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B-C-D向終點(diǎn)D運(yùn)動．過點(diǎn)E作點(diǎn)E所在的邊（BC或CD）的垂線，交菱形其它的邊于點(diǎn)F，在EF的右側(cè)作矩形EFGH．35
（1）如圖1，點(diǎn)G在AC上．求證：FA=FG．
（2）若EF=FG，當(dāng)EF過AC中點(diǎn)時(shí)，求AG的長．
（3）已知FG=8，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動路程為s.當(dāng)s滿足什么條件時(shí)，以G，C，H為頂點(diǎn)的三角形與△BEF相似（包括全等）？
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：2019引用：3難度：0.1