橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為10．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左、右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
x
2
a
2
y
2
b
2
1
2
10
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，化為3+4k2＞m2．
∴，．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．
∵以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），kAD?kBD=-1，∴，
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴．
化為7m2+16mk+4k2=0，解得m1=-2k，．
，且滿(mǎn)足3+4k2-m2＞0．
當(dāng)m=-2k時(shí)，l：y=k（x-2），直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）與已知矛盾；
當(dāng)m=-時(shí)，l：y=k，直線過(guò)定點(diǎn)．
綜上可知，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，化為3+4k2＞m2．
∴
x
1
+
x
2
=
-
8
mk
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
（
m
2
-
3
）
3
+
4
k
2
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
k
2
x
1
x
2
+
mk
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
3
（
m
2
-
4
k
2
）
3
+
4
k
2
∵以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），kAD?kBD=-1，∴
y
1
x
1
-
2
?
y
2
x
2
-
2
=
-
1
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴
3
（
m
2
-
4
k
2
）
3
+
4
k
2
+
4
（
m
2
-
3
）
3
+
4
k
2
+
16
mk
3
+
4
k
2
+
4
=
0
化為7m2+16mk+4k2=0，解得m1=-2k，
m
2
=
-
2
k
7
，且滿(mǎn)足3+4k2-m2＞0．
當(dāng)m=-2k時(shí)，l：y=k（x-2），直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）與已知矛盾；
當(dāng)m=-
2
k
7
（
x
-
2
7
）
（
2
7
，
0
）
綜上可知，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
（
2
7
，
0
）
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：2260引用：38難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：104引用：1難度：0.9 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7