橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，其左焦點到點P（2，1）的距離為10．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左、右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
x
2
a
2
y
2
b
2
1
2
10
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，化為3+4k2＞m2．
∴，．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．
∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），kAD?kBD=-1，∴，
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴．
化為7m2+16mk+4k2=0，解得m1=-2k，．
，且滿足3+4k2-m2＞0．
當m=-2k時，l：y=k（x-2），直線過定點（2，0）與已知矛盾；
當m=-時，l：y=k，直線過定點．
綜上可知，直線l過定點，定點坐標為．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），由
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，化為3+4k2＞m2．
∴
x
1
+
x
2
=
-
8
mk
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
（
m
2
-
3
）
3
+
4
k
2
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
k
2
x
1
x
2
+
mk
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
3
（
m
2
-
4
k
2
）
3
+
4
k
2
∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），kAD?kBD=-1，∴
y
1
x
1
-
2
?
y
2
x
2
-
2
=
-
1
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴
3
（
m
2
-
4
k
2
）
3
+
4
k
2
+
4
（
m
2
-
3
）
3
+
4
k
2
+
16
mk
3
+
4
k
2
+
4
=
0
化為7m2+16mk+4k2=0，解得m1=-2k，
m
2
=
-
2
k
7
，且滿足3+4k2-m2＞0．
當m=-2k時，l：y=k（x-2），直線過定點（2，0）與已知矛盾；
當m=-
2
k
7
（
x
-
2
7
）
（
2
7
，
0
）
綜上可知，直線l過定點，定點坐標為
（
2
7
，
0
）
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：2256引用：38難度：0.1
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