綜合與實踐：
動手操作：某校八（1）班數學課外興趣小組在學完第13章的特殊三角形后，利用手頭上的一副三角板，他們將一塊直角三角板DOE（DOE=90°，∠E=30°）的直角頂點O放置在另一塊直角三角板ABC（∠C=90°，AC=BC）斜邊AB的中點處，并將三角板DOE繞點O任意旋轉．
發(fā)現(xiàn)結論：
（1）如圖1，三角板DOE的兩邊DO，EO分別與另一塊三角板的邊AC，BC交于點P，Q（規(guī)定：此時點P，Q均在邊AC，BC上運動），他們在旋轉過程中，發(fā)現(xiàn)線段AP與CQ的長總相等及四邊形OPCQ的面積不會發(fā)生變化．
問題解決：①請你幫他們說明AP=CQ的理由；
②若AB=12cm,請你幫他們求出四邊形OPCQ的面積．
拓展延伸：
（2）如圖2，連接CD，當AB=12cm,DE=14cm時，那么直角三角板DOE在繞點O旋轉一周的過程中，請你直接寫出線段CD長的最小值和最大值．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/1 8:0:9組卷：123引用：4難度：0.3
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1．【問題情境】如圖1，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．
【結論運用】如圖2，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C'處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
【遷移拓展】如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，AB=8，AD=3，BD=7，M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．
發(fā)布：2025/5/31 13:30:2組卷：319引用：2難度：0.4 -
2．如圖，正方形ABCD中，點E在邊AD上（不與端點A，D重合），點A關于直線BE的對稱點為點F，連接CF，設∠ABE=α．
（1）求∠AFC的大小；
（2）過點C作CG⊥AF，垂足為G，連接DG．
①求證：DG∥CF；
②連接OD，若OD⊥DG，求sinα的值．發(fā)布：2025/5/31 13:30:2組卷：1339難度：0.3 -
3．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=c,這時我們把關于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．2
請解決下列問題：
（1）判斷下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
①2x2+x+1=0 （填“是”或“不是”）；5
②3x2+5x+4=0 （填“是”或“不是”）2
（2）求證：關于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有實數根；2
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一個根，且四邊形ACDE的周長是12，求△ABC面積．2發(fā)布：2025/5/31 14:0:2組卷：623引用：4難度：0.3