嘉琪家里有一款高腳杯，她發(fā)現(xiàn)高腳杯的杯體可以近似看成拋物線．于是她開始進(jìn)行測量，并畫出了高腳杯的截面圖（杯體厚度忽略不計）如圖（1）．點P是拋物線的頂點，CD=OP=8cm.點O是CD的中點，且OP⊥CD，AB=12cm,杯子的高度（即CD，AB之間的距離）為20cm.嘉琪想借此考查一下對學(xué)過的知識掌握情況，于是以O(shè)為原點，CD所在直線為x軸，OP所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（1個單位長度表示1cm），并提出了以下問題，你也來一起解決吧！
（1）求杯體APB所在拋物線的解析式；
（2）將杯子向左平移3cm,并倒?jié)M飲料，杯體APB與y軸交于點M，如圖（2），過點A放一根吸管，吸管底部碰觸到杯壁后不再移動，喝過一次飲料后發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點M，設(shè)吸管所在直線的解析式為y=kx+b,求k的取值范圍；
（3）將放在水平桌面l上的裝有飲料的高腳杯繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，液面恰好到達(dá)點B處（BQ∥l），如圖（3）．
①請你以CD的中點O為原點，CD所在直線為x軸，OP所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并求出BQ與y軸的交點坐標(biāo)；
②請直接寫出此時杯子內(nèi)液體的最大深度．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/2 8:0:9組卷：607引用：4難度：0.1
相似題
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/6/25 8:30:1組卷：6971引用：21難度：0.1 -
2．給定一個函數(shù)，如果這個函數(shù)的圖象上存在一個點，它的橫、縱坐標(biāo)相等，那么這個點叫做該函數(shù)的不變點．
（1）一次函數(shù)y=3x-2的不變點的坐標(biāo)為．
（2）二次函數(shù)y=x2-3x+1的兩個不變點分別為點P、Q（P在Q的左側(cè)），將點Q繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點R，求點R的坐標(biāo)．
（3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的兩個不變點的坐標(biāo)為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設(shè)拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點C為一次函數(shù)y=-x+m的不變點，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當(dāng)D、E兩點中只有一個點在封閉圖形M的內(nèi)部（不包含邊界）時，求出m的取值范圍．13發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動點Q從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設(shè)運動的時間為t秒．
①當(dāng)t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．發(fā)布：2025/6/25 6:0:1組卷：1079引用：59難度：0.5
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